单选题 （共 7 题 ），每题只有一个选项正确
我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：＂远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几狵灯？＂意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯
$\text{A.}$ 1 盏
$\text{B.}$ 3 盏
$\text{C.}$ 5 盏
$\text{D.}$ 9 盏
埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{5}-1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{5}+1}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：＂今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问：积及为米几何？＂其意思为：＂在屋内墙角处堆放米，如图，米堆为一个圆锥的四分之一，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？＂已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3 ，估算出堆放的米约有
$\text{A.}$ 14 斛
$\text{B.}$ 22 斛
$\text{C.}$ 36 斛
$\text{D.}$ 66 斛
沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的＂会圆术＂。如图，$\overparen{A B}$ 是以 $O$ 为圆心，$O A$ 为半径的圆弧， $C$ 是 $A B$ 的中点，$D$ 在 $\overparen{A B}$ 上，$C D \perp A B$ ，＂会圆术＂给出 $\overparen{A B}$ 的弧长的近似值 $s$ 的计算公式：$s=A B+\frac{C D^2}{O A}$ ，当 $O A=2, \angle A O B=60^{\circ}$时，$s=$
$\text{A.}$ $\frac{11-3 \sqrt{3}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{11-4 \sqrt{3}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{9-3 \sqrt{3}}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{9-4 \sqrt{3}}{2}$
日暑是中国古代用来测定时间的仪器，利用与暑面垂直的㛎针投射到暑面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为 $O$ ），地球上一点 $A$ 的纬度是指 $O A$ 与地球赤道所在平面所成的角，点 $A$ 处的水平面是指过点 $A$ 且与 $O A$ 垂直的平面，在点 $A$ 处放置一个日暑，若暑面与赤道所在平面平行，点 $A$ 处的纬度为北纬 $40^{\circ}$ ，则晏针与点 $A$ 处的水平面所成角为
$\text{A.}$ $20^{\circ}$
$\text{B.}$ $40^{\circ}$
$\text{C.}$ $50^{\circ}$
$\text{D.}$ $90^{\circ}$
古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ $\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0.618\right.$ ，称为黄金分割比例），著名的 ＂断臂维纳斯＂便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ ．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm ，头顶至脖子下端的长度为 26 cm ，则其身高可能是
$\text{A.}$ 165 cm
$\text{B.}$ 175 cm
$\text{C.}$ 185 cm
$\text{D.}$ 190 cm
魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高，如图，点 $E, H, G$ 在水平线 $A C$ 上，$D E$ 和 $F G$ 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为＂表高＂，$E G$ 称为＂表距＂，$G C$ 和 $E H$都称为＂表目距＂，$G C$ 与 $E H$ 的差称为＂表目距的差＂，则海岛的高 $A B=$
$\text{A.}$ $\frac{\text { 表高 } \times \text { 表距 }}{\text { 表目距的差 }}+$ 表高
$\text{B.}$ $\frac{\text { 表高 } \times \text { 表距 }}{\text { 表目距的差 }}$ 表高
$\text{C.}$ $\frac{\text { 表高 } \times \text { 表距 }}{\text { 表目距的差 }}+$ 表距
$\text{D.}$ $\frac{\text { 表高 } \times \text { 表距 }}{\text { 表目距的差 }}$ 表距
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为＂三斜求积＂，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是 $S=$ $\sqrt{\frac{1}{4}\left[c^2 a^2-\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2}\right)^2\right]}$ ，其中 $a, b, c$ 是三角形的三边，$S$ 是三角形的面积．设某三角形的三边 $a=\sqrt{2}, b=\sqrt{3}, c=2$ ，则该三角形的面积 $S=$ $\qquad$ ．
《九章算术》＂竹九节＂问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共为 3 升，下面 3 节的容积共 4升，则第 5 节的容积为 $\qquad$升．
我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明，弦图是由四个全等直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）。若直角三角形直角边的长分别为 3,4 ，记大正方形的面积为 $S_1$ ，小正方形的面积为 $S_2$ ，则 $\frac{S_1}{S_2}=$ $\qquad$
2002 年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）。如果小正方形的面积为 1 ，大正方形的面积为 25 ，直角三角形中较小的锐角为 $\theta$ ，那么 $\cos 2 \theta$ 的值等于 $\qquad$ ．
中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一。印信的形状多为长方体，正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是＂半正多面体＂（图 1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1 ．则该半正多面体共有 $\qquad$个面，其棱长为 $\qquad$ ．
