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函数的概念及其表示方法

发布日期 2025/4/14 10:46:31      查看 5      加入组卷      查看作者     
填空题
已知函数 $f(x)=\log _2\left(x^2+a\right)$ ，若 $f(3)=1$ ，则 $a=$
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+\frac{2}{x}-3, x \geqslant 1, \\ \lg \left(x^2+1\right), x < 1,\end{array}\right.$ 则 $f(f(-3))=$ $\qquad$ ，$f(x)$ 的最小值是
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+1, x \leqslant 0 \\ 2^x, x>0\end{array}\right.$ ，则满足 $f(x)+f\left(x-\frac{1}{2}\right)>1$ 的 $x$ 的取值范围是
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}e^{x-1}, x < 1, \\ x^{\frac{1}{3}}, x \geq 1,\end{array}\right.$ 则使得 $f(x) \leq 2$ 成立的 $x$ 的取值范围是
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}(x-1)^2, x \leqslant 1, \\ \log _2^1 x, x>1,\end{array} f\left(x_0\right)=-2\right.$ ，则 $x_0=$
已知 $f\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^4+\frac{1}{x^4}$ ，则 $f(x)=$
单选题
下列图形中可以表示以 $M=\{x \mid 0 \leqslant x \leqslant 1\}$ 为定义域，$N=\{y \mid 0 \leqslant y \leqslant 1\}$ 为值域的函数的图象是
$\text{A.}$ $\text{B.}$ $\text{C.}$ $\text{D.}$
下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
$\text{A.}$ $f(x)= e ^{\ln x}, g(x)=x$ $\text{B.}$ $f(x)=\frac{x^2-4}{x+2}, g(x)=x-2$ $\text{C.}$ $f(x)=\frac{\sin 2 x}{2 \cos x}, g(x)=\sin x$ $\text{D.}$ $f(x)=|x|, g(x)=\sqrt{x^2}$
函数 $f(x)=\frac{3 x^2}{\sqrt{1-x}}+\lg (3 x+1)$ 的定义域是（ ）
$\text{A.}$ $\left(-\frac{1}{3},+\infty\right)$ $\text{B.}$ $\left(-\frac{1}{3}, 1\right)$ $\text{C.}$ $\left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)$ $\text{D.}$ $\left(-\infty,-\frac{1}{3}\right)$
下列各曲线表示的 $y$ 与 $x$ 之间的关系中，$y$ 不是 $x$ 的函数的是
$\text{A.}$ $\text{B.}$ $\text{C.}$ $\text{D.}$
函数 $f(x)=\ln \left(4 x-x^2\right)+\frac{1}{x-2}$ 的定义域为 $(\quad)$
$\text{A.}$ $(0,4)$ $\text{B.}$ $[0,2) \cup(2,4]$ $\text{C.}$ $(0,2) \cup(2,4)$ $\text{D.}$ $(-\infty, 0) \cup(4,+\infty)$
函数 $f(x)=\sqrt{\ln x} \cdot \lg \left(\frac{x+2}{2-x}\right)$ 的定义域是 $(\quad)$
$\text{A.}$ $[1,2]$ $\text{B.}$ $[2,+\infty)$ $\text{C.}$ $[1,2)$ $\text{D.}$ $(1,2]$
己知函数 $f(x)$ 的定义域是 $[-1,1]$ ，则函数 $g(x)=\frac{f(2 x-1)}{\ln (1-x)}$ 的定义域是 $(\quad)$
$\text{A.}$ $[0,1]$ $\text{B.}$ $(0,1)$ $\text{C.}$ $[0,1)$ $\text{D.}$ $(0,1]$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}1+\log _2(2-x), x < 1, \\ 2^{x-1}, x \geq 1,\end{array}, f(-2)+f\left(\log _2 12\right)=(\quad)\right.$
$\text{A.}$ 3 $\text{B.}$ 6 $\text{C.}$ 9 $\text{D.}$ 12
已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f(x)$ 和奇函数 $g(x)$ 满足 $f(x)+g(x)=a^{2 x}-a^{-2 x}+1(a>0, a \neq 1)$ ，则 $f(1)=(\quad)$

$\text{A.}$ -1 $\text{B.}$ 0 $\text{C.}$ 1 $\text{D.}$ 2
设函数 $y=f(x)$ 定义域为 $D$ ，若存在 $x, y \in D$ ，且 $x \neq y$ ，使得 $2 f\left(\frac{x+y}{2}\right)=f(x)+f(y)$ ，则称函数 $y=f(x)$ 是 $D$ 上的＂$S$ 函数＂，下列函数是＂$S$ 函数＂的是
$\text{A.}$ $y=2^x$ $\text{B.}$ $y=x-\sin x+1$ $\text{C.}$ $y=\ln x$ $\text{D.}$ $y= \begin{cases}\frac{1}{x}, & x>0 \\ 1, & x \leqslant 0\end{cases}$
多选题
下列各组函数是同一函数的为（ ）
$\text{A.}$ $f(x)=x^2-2 x-1, g(s)=s^2-2 s-1$ $\text{B.}$ $f(x)=x-1, \quad g(x)=\frac{x^2-1}{x+1}$ $\text{C.}$ $f(x)=\sqrt{x^2}, \quad g(x)=\left\{\begin{array}{l}x, \quad x \geqslant 0, \\ -x, \quad x < 0\end{array}\right.$ $\text{D.}$ $f(x)=\sqrt{-x^3}, \quad g(x)=x \sqrt{-x}$
下列各对函数中是同一函数的是（ ）．
$\text{A.}$ $f(x)=2 x-1$ 与 $g(x)=2 x-x^0$ $\text{B.}$ $f(x)=\sqrt{(2 x+1)^2}$ 与 $g(x)=|2 x+1|$ ； $\text{C.}$ $f(n)=2 n+2(n \in Z )$ 与 $g(n)=2 n(n \in Z )$ ； $\text{D.}$ $f(x)=3 x+2$ 与 $g(t)=3 t+2$ ．
解答题
求下列函数的定义域：
（1）$f(x)=\sqrt{\lg \left(5-x^2\right)}$ ；
（2）$f(x)=\frac{1}{\ln (x-1)}$ ．
（1）已知 $f(x)$ 是二次函数，且 $f(0)=0, f(x+1)=f(x)+x+1$ ，求函数 $f(x)$ 的解析式；
（2）已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $R$ ，且满足 $f(x+1)=2 f(x)$ 。若当 $0 \leqslant x \leqslant 1$ 时，$f(x)=x(1-x)$ ，求当 $-1 \leqslant x \leqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 的解析式；
（3）已知 $f(x)$ 的定义域为 $\{x \mid x \neq 0\}$ ，满足 $3 f(x)+5 f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{3}{x}+1$ ，求函数 $f(x)$ 的解析式．
（1）已知 $f\left(\frac{2}{x}+1\right)=\lg x$ ，求 $f(x)$ 的解析式；
（2）已知 $f(x)$ 是二次函数，且 $f(0)=0, f(x+1)=f(x)+x+1$ ，求 $f(x)$ 的解析式；
（3）已知函数 $f(x)$ 满足 $f(-x)+2 f(x)=2^x$ ，求 $f(x)$ 的解析式．
求下列函数的解析式：
（1）已知 $f(1-\sin x)=\cos ^2 x$ ，求 $f(x)$ 的解析式；
（2）已知 $f\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^2+\frac{1}{x^2}$ ，求 $f(x)$ 的解析式；
（3）已知 $f(x)$ 是一次函数且 $3 f(x+1)-2 f(x-1)=2 x+17$ ，求 $f(x)$ 的解析式；
（4）已知 $f(x)$ 满足 $2 f(x)+f(-x)=3 x$ ，求 $f(x)$ 的解析式．

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