解答题 （共 21 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1-\sqrt{\cos x}}{x(1-\cos \sqrt{x})}$;
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x \ln (1+x)-x^2}$;
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{[\sin x-\sin (\sin x)] \sin x}{x^4}$;
$\lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt[3]{x^2}(\sqrt[3]{x+8}-\sqrt[3]{x+1})$;
$\lim _{x \rightarrow a} \frac{\sqrt{x-a}-(\sqrt{x}-\sqrt{a})}{\sqrt{x^2-a^2}}$;
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(\sin x^2+ e ^x\right)-x}{\ln \left(x^2+ e ^{2 x}\right)-2 x}$;
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}- e }{\arcsin (1-\sqrt{1+x})}$;
求极限： $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\ln (1+\sqrt[3]{x-1})}{\arcsin \sqrt[3]{x^2-1}}$ ；
已知 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+\frac{f(x)}{\tan x}\right)}{2^x-1}=2$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}=$
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}(\sqrt{1+2+\cdots+n}-\sqrt{1+2+\cdots+(n-1)})$ ；
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left[x-x^2 \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right]$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 的某邻域内连续，且 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=3$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\sin x^2+\cos x\right)}{x^2}=$
设 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=1$ ，求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+f\left( e ^{x^2}\right)}-\sqrt{1+3 f\left(1-\sin x^2\right)}}{\ln \cos x}$ ．
设 $f(x)$ 在点 $x=1$ 的邻域内具有二阶连续导数，$f(1)=0, f^{\prime}(1)=6$ ，试计算
$$
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\int_x^1\left(t \int_t^1 f(u) d u\right) d t}{(x-1)^3}
$$
设 $y=f(x)$ 在点 $x=1$ 处的切线方程为 $y=x-1$ ，计算 $I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^2} e ^t f\left(1+ e ^{x^2}- e ^t\right) d t}{x^2 \ln \cos x}$ ．
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin ^2 x}-\frac{\cos ^2 x}{x^2}\right)$ ；
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left[x-x^2 \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right]$ ．
求极限 求 $\lim _{x \rightarrow \infty} x^2\left(1-x \sin \frac{1}{x}\right)(\infty .0)$ ；
求 $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}(2 x-\pi)\left(\tan ^2 x+1\right) \quad(0 \cdot \infty)$ ．
求 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left( e ^x-1\right)^{\ln (1+\tan x)}$
求 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)^{\frac{1}{x}}\left(\infty^0\right)$ ．