解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $X$ 为集合， $E$ 为 $X$ 上的集类．证明：
（1） $A ( E )=\{E, X-E \mid E \in R ( E )\}$ 。
（2） $A _0( E )=\left\{E, X-E \mid E \in R _0( E )\right\}$ ．
设 $X$ 为集合， $E$ 为 $X$ 上的非空集类．在下列各种情况下分别求出 $R ( E ), A ( E )$ ：
（1） $E =\left\{E_1, E_2, \cdots, E_n\right\}$ ．
（2）$X= R ^1$（实数直线）， $E =\{(a, b) \mid-\infty < a < b < +\infty\}$ ．
（3）$X= R ^1, E =\{(-\infty, a) \mid a \in R \}$ 。
设 $E =\{(a, b) \mid-\infty < a < b < +\infty\}, R _0=\left\{\bigcup_{i=1}^n\left(a_i, b_i\right] \mid-\infty < a_i < b_i < +\infty\right.$ ， $n \in N\}$ 为 $R ^1$ 上的两个集类．证明：分别由 $E$ 与 $R _0$ 张成的 $\sigma$ 环是一致的，并且
$$
R _o( E )= R _\sigma\left( R _0\right)= R ,
$$
其中 $B$ 为 Borel 集类，即 $B = A _0\left( T _0\right)$ ，它是由 $\left( R ^1, F _0\right)$ 的开集族 $T _0$ 所生成的 $\sigma$ 代数．
设 $R$ 为集合 $X$ 上的一个非空集类．证明：
（1） $R$ 为一个环
$\Leftrightarrow(2) ~ R$ 对＂一＂运算和任意有限个互不相交集的＂$\cup$＂运算封闭 $\Leftrightarrow(3) R$ 对＂一＂，＂$\Delta "$＂$\cap$＂运算封闭．
设 $R$ 为集合 $X$ 上的一个非空集类．证明：
$R$ 为代数 $\Leftrightarrow R$ 对＂$\cup$＂，＂$\cap$＂，＂余＂运算封闭。
设 $X$ 为集合，$A \subset X$ 。 $R$ 为 $X$ 上某些子集所成的环．记
$$
R \cap A=\{E \cap A \mid E \in R \}, \quad R _\sigma( R ) \cap A=\left\{E \cap A \mid E \in R _\sigma( R )\right\} .
$$
证明：（1） $R \cap A$ 为 $A$ 上的一个环．
（2） $R _\sigma( R ) \cap A$ 为 $A$ 上的一个 $\sigma$ 环．
（3） $R _\sigma( R ) \cap A= R _\sigma( R \cap A)$ ．
（4）当 $R$ 为代数或 $A \in R$ 时， $R _\sigma( R ) \cap A$ 为 $A$ 上的 $\sigma$ 代数．
设 $X$ 为集合， $R , ~ U$ 为 $X$ 上的非空集类，$U$ 为 $X$ 上的环，且有
（1）UคR；
（2）当 $E_1, E_2, \cdots, E_n, \cdots$ 为 $U$ 中的一列互不相交的元素时，$\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n \in U$ ．证明：$U \supset R _\sigma( R )$ ．
设 $R$ 为 $R ^1$ 上的一个环， $R ^2=\{(x, y) \mid x, y \in R \}$ ．对 $\forall E \in R$ ，令
$$
\widetilde{E}=\{(x, y) \mid x \in E\} \subset R ^2, \quad \widetilde{ R }=\{\widetilde{E} \mid E \in R \}
$$
证明：
（1）$\widetilde{ R }$ 为 $R ^2$ 上的一个环．
（2） $R _\sigma(\widetilde{ R }) \cap R ^1= R _\sigma\left(\widetilde{ R } \cap R ^1\right)= R _\sigma( R )$ ，其中 $R ^1=\{(x, 0) \mid x \in R \}$ ．
换言之，
$$
R _\sigma(\widetilde{ R })=\left\{\widetilde{E} \mid E \in R _\sigma( R )\right\}, \quad R _\sigma( R )=\left\{E \mid \widetilde{E} \in R _\sigma(\widetilde{ R })\right\} .
$$