试题

设 $R$ 为 $R ^1$ 上的一个环， $R ^2=\{(x, y) \mid x, y \in R \}$ ．对 $\forall E \in R$ ，令

$$
\widetilde{E}=\{(x, y) \mid x \in E\} \subset R ^2, \quad \widetilde{ R }=\{\widetilde{E} \mid E \in R \}
$$


证明：
（1）$\widetilde{ R }$ 为 $R ^2$ 上的一个环．
（2） $R _\sigma(\widetilde{ R }) \cap R ^1= R _\sigma\left(\widetilde{ R } \cap R ^1\right)= R _\sigma( R )$ ，其中 $R ^1=\{(x, 0) \mid x \in R \}$ ．
换言之，

$$
R _\sigma(\widetilde{ R })=\left\{\widetilde{E} \mid E \in R _\sigma( R )\right\}, \quad R _\sigma( R )=\left\{E \mid \widetilde{E} \in R _\sigma(\widetilde{ R })\right\} .
$$

答案