设 $X$ 为集合，$A \subset X$ 。 $R$ 为 $X$ 上某些子集所成的环．记

$$
R \cap A=\{E \cap A \mid E \in R \}, \quad R _\sigma( R ) \cap A=\left\{E \cap A \mid E \in R _\sigma( R )\right\} .
$$


证明：（1） $R \cap A$ 为 $A$ 上的一个环．
（2） $R _\sigma( R ) \cap A$ 为 $A$ 上的一个 $\sigma$ 环．
（3） $R _\sigma( R ) \cap A= R _\sigma( R \cap A)$ ．
（4）当 $R$ 为代数或 $A \in R$ 时， $R _\sigma( R ) \cap A$ 为 $A$ 上的 $\sigma$ 代数．