解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求解线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{rl}
x_1+x_2+x_3 & =0 \\
x_1+x_2-x_3-x_4-2 x_5 & =1 \\
2 x_1+2 x_2 & -x_4-2 x_5
\end{array}=1\right.
$$
已知线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{r}
a x_1+x_2+x_3=4 \\
x_1+b x_2+x_3=3 \\
x_1+2 b x_2+x_3=4
\end{array}\right.
$$
试就参数 $a, b$ 取值情况讨论方程组的解的情况，并在有解时求解．
已知下列非齐次线性方程组（I），（II）
（ I ）$\left\{\begin{aligned} x_1+x_2-2 x_4 & =-6 \\ 4 x_1-x_2-x_3-x_4 & =1 \\ 3 x_1-x_2-x_3 & =3\end{aligned} \quad\right.$（II）$\left\{\begin{aligned} x_1+m x_2-x_3-x_4 & =-5 \\ n x_2-x_3-2 x_4 & =-11 \\ x_3-2 x_4 & =-t+1\end{aligned}\right.$
问方程组（II）的参数 $m, n, t$ 为何值时，方程组（I）和（II）同解。
已知 $A x=b$ 为四元线性方程组，且 $r(A)=3$ ，并且 $x_1, x_2, x_3$为它的三个解向量，满足：$x_1+x_2=(-1,2,1,0)^{ T }, x_3=(1,8,-1,4)^{ T }$ ．求 $A x$ $=b$ 的通解。
$ A \in M_{m, n}, m < n$ ，且 $A$ 的行向量组线性无关．$B \in M_{n, n-m}, B$的列向量组线性无关，且 $A B=0$ ．证明：如果 $\eta$ 是齐次线性方程组 $A x=0$ 的解，则 $B x=\eta$ 有惟一解．
证明若方程组
$$
(I)\left\{\begin{array}{c}
a_{11} y_1+a_{12} y_2+\cdots+a_{1 n} y_n=b_1 \\
a_{21} y_1+a_{22} y_2+\cdots+a_{2 n} y_n=b_2 \\
\vdots \\
a_{m 1} y_1+a_{m 2} y_2+\cdots+a_{m n} y_n=b_m
\end{array}\right.
$$
有解．则方程组
$$
\text { (II) }\left\{\begin{array}{r}
a_{11} x_1+a_{21} x_2+\cdots+a_{m 1} x_m=0 \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{m 2} x_m=0 \\
\vdots \\
a_{1 n} x_1+a_{2 n} x_2+\cdots+a_{m n} x_m=0
\end{array}\right.
$$
的任意一组基 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_m\right)^{ T }$ 必满足
（III）$b_1 x_1+b_2 x_2+\cdots+b_m x_m=0$
证 本题从方程组的不同形式出发加以证明．
设 $A \in M_{m, n}, b \in R^m$ ．则线性方程组 $\left(A^{ T } A\right) x=A^{ T } b$ 一定有解．
已知线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{c}
x_1-x_2+2 x_3=-1 \\
3 x_1+x_2+4 x_3=1 \\
a x_1+b x_2+c x_3=d
\end{array}\right.
$$
有两个解 $x_1=(0,1,0)^{ T }, x_2=(-3,2,2)^{ T }$ ．
求此方程组的一般解。