设 $\left(X_1, \cdots, X_n\right)$ 是来自总体 $X$ 的容量为 $n(n \geqslant 2)$ 的样本，且 $\bar{X}_n, S_n^2$ 分别为样本 $\left(X_1, \cdots, X_n\right)$ 的样本均值及样本方差，即

$$
\bar{X}_n=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, S_n^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}_n\right)^2
$$


又设 $X_{n+1}$ 为新获得的第 $n+1$ 个观测结果，证明由这 $n+1$ 个观测结果算得的样本均值和样本方差分别为

$$
\begin{gathered}
\bar{X}_{n+1}=\bar{X}_n+\frac{1}{n+1}\left(X_{n+1}-\bar{X}_n\right) \\
S_{n+1}^2=\frac{n}{n+1}\left[S_n^2+\frac{1}{n+1}\left(X_{n+1}-\bar{X}_n\right)^2\right]
\end{gathered}
$$

设总体 $X \sim N\left(\mu, 10^2\right)$ ，抽取容量为 $n$ 的样本，样本均值记为 $\bar{X}$ ，欲使

$$
P(\mu-5 < \bar{X} < \mu+5)=0.954
$$


试问 $n$ 取何值？

已知两总体 $X$ 和 $Y$ 相互独立，且 $X \sim N(20,3)$ ， $Y \sim N(20,5)$ ，分别从总体 $X$ 和 $Y$ 取出 $m=10, n=25$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 和 $\bar{Y}$ 分别为总体 $X$ 和 $Y$ 的样本均值，求 $P(|\bar{X}-\bar{Y}|>0.3)$ ．

设 $\left(X_1, \cdots, X_{100}\right)$ 是来自正态总体 $X$ 的简单随机样本，且 $X$ $\sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ．

$$
\begin{array}{rlrl}
Y_1 & =\frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} X_i, Y_2=\frac{1}{10} \sum_{i=11}^{20} X_i, \cdots, Y_{10}=\frac{1}{10} \sum_{i=91}^{100} X_i, \\
\text { 令 } & W & =a\left[\left(Y_2-Y_1\right)^2+\left(Y_4-Y_3\right)^2+\cdots+\left(Y_{10}-Y_9\right)^2\right]
\end{array}
$$


试选取合适的 $a$ ，使得 $W$ 服从 $\chi^2$ 一分布，并且指出所服从 $\chi^2$ 一分布的自由度。

设 $\left(X_i, Y_i\right), i=1,2, \cdots, n$ 是来自二维正态分布 $N\left(\mu_1, \mu_2\right.$ ， $\left.\sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho\right)$ 的样本．
又设

$$
\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, \bar{Y}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i
$$
$$
\begin{gathered}
S_x^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2, S_y^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2 \\
r=\frac{\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)\left(Y_i-\bar{Y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^n\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2}}
\end{gathered}
$$


求

$$
\frac{\bar{X}-\bar{Y}-\left(\mu_1-\mu_2\right)}{\sqrt{S_x^2+S_y^2-2 r S_x S_y}} \sqrt{n-1}
$$


的分布．

设 $\left(X_1, \cdots, X_m\right)$ 是来自总体 $X$ 的一个样本，$\left(Y_1, \cdots, Y_n\right)$ 是来自总体 $Y$ 的一个样本，$X \sim N\left(\mu_1, \sigma^2\right), Y \sim N\left(\mu_2, \sigma^2\right)$ ，其中 $\mu_1, \mu_2$ 已知，$\sigma^2$ 未知，且两个样本相互独立。令

$$
\begin{aligned}
& S_1^2=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^m\left(X_i-\mu_1\right)^2 \\
& S_2^2=\frac{1}{n} \sum_{j=1}^n\left(Y_j-\mu_2\right)^2
\end{aligned}
$$


求 统计量 $V=\frac{S_1^2}{S_2^2}$ 的分布．