设 $\left(X_1, \cdots, X_n\right)$ 是来自总体 $X$ 的容量为 $n(n \geqslant 2)$ 的样本，且 $\bar{X}_n, S_n^2$ 分别为样本 $\left(X_1, \cdots, X_n\right)$ 的样本均值及样本方差，即

$$
\bar{X}_n=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, S_n^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}_n\right)^2
$$


又设 $X_{n+1}$ 为新获得的第 $n+1$ 个观测结果，证明由这 $n+1$ 个观测结果算得的样本均值和样本方差分别为

$$
\begin{gathered}
\bar{X}_{n+1}=\bar{X}_n+\frac{1}{n+1}\left(X_{n+1}-\bar{X}_n\right) \\
S_{n+1}^2=\frac{n}{n+1}\left[S_n^2+\frac{1}{n+1}\left(X_{n+1}-\bar{X}_n\right)^2\right]
\end{gathered}
$$