解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
某切割机正常工作时，切割每段金属棒的平均长度为 10.5 cm ，标准差为 0.15 cm 。今从一批产品中随机抽取 15 段进行测量，其结果如下（单位： cm ）：
$$
\begin{aligned}
& \quad 10.4,10.6,10.1,10.4,10.5,10.3,10.3,10.2,10.9,10.6,10.8 \text {, } \\
& 10.5,10.7,10.2,10.7
\end{aligned}
$$
由以往的经验知道，金属棒长度服从正态分布，在显著性水平 $\alpha=0.05$下，检验该切割机的工作是否正常?
由以往的经验知道，某电子元件的使用寿命服从正态分布，标准差为 100 小时．按上级质检部门的规定，该元件只有其使用寿命不低于 1000 小时才能认为合格。今从某厂生产的一批这种电子元件中随机抽查了 25 件，测得其平均寿命为 950 小时，在显著性水平 $\alpha=$ 0.05 下，能否认为这批电子元件为合格品？
自动生产线生产某种食品罐头，在正常生产情况下，每听罐头的标准重量为 500 克，标准差不得超过 10 克．由经验知道，该种罐头的重量服从正态分布，某天开工后，为了检查生产线的工作是否正常，随机抽取了 9 听罐头测量其重量，其结果为（单位：克）：
$$
497,507,510,475,484,488,524,491,515,
$$
问：这天的自动生产线工作是否正常 $(\alpha=0.05)$ ？
设 $X \sim N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right)$ 和 $Y \sim N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right)$ 是两个相互独立的总体， $\left(X_1, X_2, \cdots, X_m\right)$ 和 $\left(Y_1, Y_2, \cdots, Y_n\right)$ 为分别抽自 $X$ 和 $Y$ 的样本，如果 $\sigma_1^2$ $=4 \sigma_2^2$ ，但具体数值未知，试给出对假设 $H_0: \mu_1=\mu_2 \leftrightarrow H_1: \mu_1 \neq \mu_2$ 的检验法。
为检验小学生中男生与女生的身高是否有显著差异，从某小学三年级中随机抽查了 7 名男生和 6 名女生，测得他们的身高（单位： cm ）为：
男生： $140,138,143,142,144,137,141$ ．
女生： $135,140,142,136,138,140$ ．
假设男，女生的身高均服从正态分布，且两样本相互独立，利用上述数据，判断小学生中男生与女生的身高是否有显著差异 $(\alpha=0.1)$ ？
为了比较用来做鞋后跟的两种材料的质量，制作了 15 双皮鞋，每双鞋的一只用 $A$ 材料做后跟，另一只用 $B$ 材料做后跟，然后选取了 15 个生活条件各不相同的男子试穿这 15 双鞋。假设试穿开始时每只鞋后跟的高度均为 10 mm ，经过一个月以后再次测量各双鞋后跟的高度，得如下数据（见表9－4）。
假设两只鞋后跟的高度 $X, Y$ 均服从正态分布，由以上数据，可否认为 $A$ 材料制成的鞋后跟比 $B$ 材料制成的鞋后跟耐穿（ $\alpha=0.05$ ）？
某药厂在它的广告中声称，该厂的新药对某种疾病的治愈率为 $80 \%$ 。一医院对这种新药临床使用 120 例，结果治愈 85 例，我们能否相信该厂的广告是真实的 $(\alpha=0.05) ?$
卢瑟福为了观察放射性物质放射的粒子数，在 2608 个相等的时间间隔（每次 7.5 秒）内进行了观测，表 9－6 所列是观察到 $i$ 个粒子的时间间隔数，试检验观测数据是否服从普阿松分布 $(\alpha=0.05)$ ？
从汽车零件制造厂生产的一批螺栓中随机抽取 100 只，测量螺栓的口径（毫米），得均值为 11 ，方差为 $0.032^2$ ，并将 100 个数据统计成表 $9-8$ ，试检验螺栓口径是否服从正态分布 $(\alpha=0.05)$ ？
为了了解某种药品对某种疾病的疗效是否与患者的年龄有关，共抽查了 300 名患者．将疗效分为＂显著＂，＂一般＂和＂较差＂三个等级，将年龄分成＂儿童＂，＂中青年＂和＂老年＂三个等级，得到表 $9-10$所示的数据，在显著性水平 $\alpha=0.05$ 下，检验假设＂疗效与患者年龄无关”
