解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
一个解析函数所构成的映射在什么条件下具有伸缩和旋转角的不变性？映射 $w=z^2$ 在 z平面上处处都具有这个性质吗？
求 $f(z)=z^3$ 在下列各点处的导数值，并根据导数的几何意义解释这些结果。
（1）$z_1=i$ ；
（2）$z_2=1-i$ ；
（3）$z_3=0$
在映射 $w=\frac{1}{z}$ 下，求下列曲线的像。
（1）$x^2+y^2=4$
（2）$(x-1)^2+y^2=1$
下列函数将下列区域映射成什么区域？
$x>0, y>0, w=\frac{z-i}{z+i}$
下列函数将下列区域映射为什么？
$\operatorname{Re} z>0,0 < \operatorname{Im} z < 1, w=\frac{i}{z}$
求将上半平面 $\operatorname{Im} z>0$ 映射为单位圆内部 $|w| < 1$ 的分式线性映射 $w=f(z)$ ，并满足条件：
（1）$f(i)=0, f(-1)=1$
（2）$f(1)=1, f(i)=\frac{1}{\sqrt{5}}$
求将 $|z| < 1$ 映射为 $|w| < 1$ 的分式线性映射 $w=f(z)$ ，并满足：
（1）$f\left(\frac{1}{2}\right)=0, f(-1)=1$
（2）$f\left(\frac{1}{2}\right)=0, \arg f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{2}$
映射 $w=z^2$ 将上半单位圆域：$|z| < 1, \operatorname{Im} z>0$ 映射成什么区域？
求将下列各区域映到上半平面的保形映射。
$|z+i|>\sqrt{2},|z-i| < \sqrt{2}$