单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
$\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=\infty$ 是 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某空心邻域内无界的 ( ) 条件。
$\text{A.}$ 充分
$\text{B.}$ 必要
$\text{C.}$ 充分必要
$\text{D.}$ 无关
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=2$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x}{f(3 x)}=(\quad) 。$
$\text{A.}$ $3 / 2$
$\text{B.}$ $2 / 3$
$\text{C.}$ $1 / 3$
$\text{D.}$ $4 / 3$
设 $A$ 为齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+x_3=0 \\ x_1+t x_2+x_3=0 \\ x_1+x_2+t x_3=0\end{array}\right.$ 的系数矩阵, 若有三阶方阵 $B \neq 0$, 且 $A B=0$, 则
$\text{A.}$ $t=-2$, 且 $|B|=0$
$\text{B.}$ $t=-2$, 且 $|B| \neq 0$
$\text{C.}$ $t=1$, 且 $|B|=0$
$\text{D.}$ $t=1$, 且 $|B| \neq 0$
下列积分中可直接用 Newton-Leibniz 公式计算积分的是（）。
$\text{A.}$ $\int_0^6 \frac{x^3}{1+x^2} d x$
$\text{B.}$ $\int_{-1}^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} d x$
$\text{C.}$ $\int_0^6 \frac{x}{\left(x^2-6\right)^2} d x$
$\text{D.}$ $\int_{\frac{1}{e}}^e \frac{1}{x \ln x} d x$
$\forall x$, 有 $f(-x)=-f(x)$, 且 $f^{\prime}\left(-x_0\right)=-k \neq 0$, 则 $f^{\prime}\left(x_0\right)=(\quad) 。$
$\text{A.}$ $1 / k$
$\text{B.}$ $-1 / k$
$\text{C.}$ $-k$
$\text{D.}$ $k$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\frac{\sin x}{x}$ 是 $f(x)$ 的一个原函数, 则为 $\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi x f^{\prime}(x) d x=$
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6 x+x f(x)}{x^3}=0$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{6+f(x)}{x^2}=$
$A=\left(\begin{array}{lllll}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3\end{array}\right)$, 则 $\left(A^*\right)^{-1}=$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{2^n+3^n}=$
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x-\cos x}{1+\sin ^2 x} d x=$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x\left(\sqrt{1+t^2}-\sqrt{1-t^2}\right) d t}{x^2 \sin x}$
$\int \frac{\cos ^2 x-\sin x}{\cos x\left(1+\cos x e^{\sin x}\right)} d x$
设 $y=f(x)$ 由方程 $x y^2+\sin x^3=y \cdot 3^x$ 确定, 求 $d y$ 。
$y=\arctan \left(3 e^x\right)$, 求 $\frac{d y}{d \sin x}$ 。
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}1, x < 0 \\ x+1,0 \leq x \leq 1 \\ 2 x, x>1\end{array}\right.$, 求 $\int f(x) d x$ 。
$\int_0^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1-2 x}{1+2 x}} d x$
$\int_0^{+\infty} \frac{d x}{\left(1+x^2\right)^2}$
$A=\left(\begin{array}{cccc}a & b & c & d \\ -b & a & -d & c \\ -c & d & a & -b \\ -d & -c & b & a\end{array}\right)$, 求 $|A|$ 。
证明题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 区间上有一阶连续导数, 且 $f(1)-f(0)=1$, 证明: $\int_0^1\left[f^{\prime}(x)\right]^2 d x \geq 1$ 。
设 $f^{\prime}(x)$ 在 $[a, b]$ 上存在, 且 $f^{\prime}(a) < f^{\prime}(b), r$ 为 $f^{\prime}(a) 、 f^{\prime}(b)$ 之间的任意一个数值, 则在 $(a, b)$ 内存在一点 $\xi$, 使得 $f^{\prime}(\xi)=r$ 。
设点 $P$ 位椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ 上一点, $F_1, F_2$ 为椭圆的两个焦点, 求 $\left|P F_1\right| \cdot\left|P F_2\right|$ 的最大值。
设 $\left\{\begin{array}{l}k x_1+x_2+x_3=5 \\ 3 x_1+2 x_2+k x_3=18-5 k \\ x_2+2 x_3=2\end{array}\right.$, 问 $k$ 取何值, 方程组无解, 有唯一解, 有无穷解? 在有无穷解时, 求出全部解