填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n+1}{n-2}\right)^n$
$\lim _{x \rightarrow 0+} \frac{\int_0^{\sqrt{x}} \ln \left(1+t^4\right) d t}{x^{\frac{5}{2}}}$;
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x-\sin x+\ln (1+x)}{x \sin ^2 x}$ 。
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)=x^2 \cos 2 x$, 求高阶导数 $f^{(10)}(x)$ ；
计算定积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x+2 \cos x}{3 \sin x+\cos x} d x$;
设 $t \in(0,1)$, 计算积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\tan x)^{1-2 t} d x$ 。
判断广义积分 $\int_0^{+\infty} \frac{\ln \left(1+x^4\right)}{x^p} d x$ 的收敛性，其中 $p$ 是一个实参数。
设 $\Gamma$ 是空间曲线: $y=e^{\frac{x^2}{2}}, z=0, x \geq 0$, 将该曲线绕坐标 $y$ 轴旋转一周,
1) 求所成曲面上的点满足的方程; 2) 求所成曲面与平面 $y=e$ 围成的有界立体的体积。
设 $0 < x < \frac{\pi}{2}$, 证明: $\frac{x}{\sin x} < \frac{\tan x}{x}$ 。
已知直线 $\ell$ 经过点 $(11,9,0)$, 且与直线 $\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{4}=\frac{z-5}{3}$ 和直线 $\frac{x}{5}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+1}{2}$ 相交, 求直线 $\ell$ 的方程。
设平面 $\pi$ 过直线 $\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z}{-1}$, 且平行于直线 $\frac{x}{-2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$, 求平面 $\pi$ 的方程。
已知线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}x+y+z=0 \\ 2 x+k y+3 z=0 \\ 3 x+5 y+k z=1\end{array}\right.$ 有唯一解, 请决定参数 $k$ 的取值范围,并求出方程组相应的唯一解。
设 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有非负的二阶导函数, 在 $x=0$ 处连续, 并且 $f(0)=0$, 证明: 对于任意的 $x_1>0, x_2>0$, 都有 $f\left(x_1+x_2\right) \geq f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)$ 。
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $a < b, f(x)$ 是闭区间 $[a, b]$ 上的非负连续函数, 证明:
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty}\left[\int_a^b(f(x))^n d x\right]^{1 / n}=\max _{a \leq x \leq b} f(x) 。
$$