单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
$\sin 1050^{\circ}=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{D.}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
" $\sin \alpha+\cos \alpha=1$ " 是 " $\sin 2 \alpha=0$ " 的 ( )
$\text{A.}$ 充分不必要条件
$\text{B.}$ 必要不充分条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
已知 $\tan \theta=2$, 则 $\sin \theta \sin \left(\frac{3 \pi}{2}+\theta\right)= $
$\text{A.}$ $\frac{3}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $-\frac{2}{5}$
已知 $\sin \alpha+\cos \alpha=\frac{\sqrt{6}}{3}, 0 < \alpha < \pi$, 则 $\sin \alpha-\cos \alpha=$
$\text{A.}$ $-\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
$\text{C.}$ $-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
已知函数 $f(x)=\frac{1}{3} x^3+x^2 f^{\prime}(1)+2$, 且其图象在点 $x=3$ 处的切线的倾斜角为 $\alpha$, 则 $\sin \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right) \cos \left(\frac{3 \pi}{2}-\alpha\right)$ 的值为
$\text{A.}$ $\frac{3}{10}$
$\text{B.}$ $-\frac{3}{10}$
$\text{C.}$ $\frac{9}{10}$
$\text{D.}$ $-\frac{3}{4}$
已知 $\sin \left(\frac{\pi}{6}-x\right)=\frac{4}{5}$, 则 $\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)= $
$\text{A.}$ $-\frac{4}{5}$
$\text{B.}$ $-\frac{3}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{4}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{5}$
若实数 $\alpha$ 满足 $\cos \alpha=\tan \alpha$, 则 $\frac{1}{\sin \alpha}+\cos ^4 \alpha$ 的值为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $\sqrt{3}$
$\text{C.}$ $\sqrt{2}$
$\text{D.}$ 1
已知 $\alpha \in\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$, 则 $\frac{\sin \alpha \cos \alpha+1}{\sin \alpha+\cos \alpha}$ 的最大值是
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{3 \sqrt{3}-1}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
$\frac{2 \sin x}{\sqrt{1-\cos ^2 x}}+\frac{\cos x}{\sqrt{1-\sin ^2 x}}$ 的值可能为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
若 $\sin a=\frac{4}{5}$, 且 $a$ 为锐角, 则下列选项中正确的有（）
$\text{A.}$ $\tan a=\frac{4}{3}$
$\text{B.}$ $\cos a=\frac{3}{5}$
$\text{C.}$ $\sin a+\cos a=\frac{8}{5}$
$\text{D.}$ $\sin a-\cos a=-\frac{1}{5}$
已知 $\sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{5}, \theta \in(0, \pi)$, 则 ( )
$\text{A.}$ $\sin \theta \cos \theta=-\frac{12}{25}$
$\text{B.}$ $\sin \theta-\cos \theta=\frac{12}{25}$
$\text{C.}$ $\sin \theta-\cos \theta=\frac{7}{5}$
$\text{D.}$ $\tan \theta=-\frac{4}{3}$
已知 $\cos \left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{10}, \alpha \in(0, \pi)$. 则下列结论不正确的是（）
$\text{A.}$ $\cos \alpha-\sin \alpha=\frac{1}{5}$
$\text{B.}$ $\tan \alpha=-\frac{3}{4}$
$\text{C.}$ $\cos \alpha-\sin \alpha=-\frac{7}{5}$
$\text{D.}$ $\cos \left(2 \alpha-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{24}{25}$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $\sin \alpha=\frac{2 m-5}{m+1}, \cos \alpha=-\frac{m}{m+1}$, 且 $\alpha$ 为第二象限角, 则 $\tan \alpha=$
已知 $\theta$ 为锐角, 满足 $\sin ^2 \theta+\sin \theta \cos \theta-3 \cos ^2 \theta=\frac{3}{5}$, 则 $\tan \theta=$
已知 $\sin \left(\frac{5 \pi}{6}-\alpha\right)=\sqrt{3} \cos \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)$, 则 $\tan \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)$ 的值为
国际数学家大会已经有了一百多年历史，每届大会都是吸引当时世界上研究各类数学和相关问题的世界顶级科学家参与. 21 世纪的第一次国际数学家大会在我国北京举行, 有来自 100 多个国家的 4200 多位数学家参加了本次大会. 这次大会的 "风车" 会标取材于我国古代数学著作 《勾股圆设方图》, 该弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形, 若下图中所示的角为 $\alpha\left(0^{\circ} < \alpha < 45^{\circ}\right)$, 且大正方形与小正方形面积之比为 $25: 1$, 则 $\cos \alpha=$
