解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n(n>1)$ 阶非异阵, $\boldsymbol{B}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的逆阵. 任取 $r$ 个指标 $1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_r \leq n$, 剩余的指标记为 $1 \leq i_{r+1} < \cdots < i_n \leq n$. 证明:
$$
|\boldsymbol{A}| \cdot \boldsymbol{B}\left(\begin{array}{cccc}
i_1 & i_2 & \cdots & i_r \\
i_1 & i_2 & \cdots & i_r
\end{array}\right)=\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{ccc}
i_{r+1} & \cdots & i_n \\
i_{r+1} & \cdots & i_n
\end{array}\right) .
$$
设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间, $\boldsymbol{\varphi}, \boldsymbol{\psi}$ 是 $V$ 上的线性变换,满足 $\varphi \boldsymbol{\psi}=\boldsymbol{\psi} \varphi$. 证明: 存在正整数 $m$, 使得 $\operatorname{Im}\left(\boldsymbol{\varphi}^m+\boldsymbol{\psi}^m\right)=\operatorname{Im} \varphi^m+\operatorname{Im} \boldsymbol{\psi}^m$.
设分块矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{A}_{11} & \boldsymbol{A}_{12} \\ \boldsymbol{A}_{21} & \boldsymbol{A}_{22}\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{B}_{11} & \boldsymbol{B}_{12} \\ \boldsymbol{B}_{21} & \boldsymbol{B}_{22}\end{array}\right)$, 其中 $\boldsymbol{A}_{11}, \boldsymbol{B}_{11}$ 都是 $k$ 阶方阵, $\boldsymbol{A}_{22}, \boldsymbol{B}_{22}$ 都是 $n-k$ 阶方阵, 且满足 $\operatorname{r}(\boldsymbol{A})=\operatorname{r}\left(\boldsymbol{A}_{11}\right), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})=$ $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{B}_{22}\right)$. 求证:
$$
\left|\begin{array}{ll}
\boldsymbol{A}_{11} & \boldsymbol{B}_{12} \\
\boldsymbol{A}_{21} & \boldsymbol{B}_{22}
\end{array}\right| \cdot\left|\begin{array}{ll}
\boldsymbol{A}_{11} & \boldsymbol{A}_{12} \\
\boldsymbol{B}_{21} & \boldsymbol{B}_{22}
\end{array}\right|=|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}| \cdot\left|\boldsymbol{A}_{11}\right| \cdot\left|\boldsymbol{B}_{22}\right| .
$$
设 $\varphi_1, \cdots, \varphi_k$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换, 满足条件 $\varphi_i^2=\varphi_i(1 \leq i \leq k), \varphi_i \varphi_j=0(1 \leq i < j \leq k)$. 求证:
$$
V=\operatorname{Im} \varphi_1 \oplus \cdots \oplus \operatorname{Im} \varphi_k \oplus\left(\bigcap_{i=1}^k \operatorname{Ker} \varphi_i\right) .
$$
设 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ 且 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}) \geq n-1$. 证明:
$\mathrm{r}\left(\boldsymbol{A}^2\right)+\mathrm{r}\left(\boldsymbol{B}^2\right) \geq 2 \mathrm{r}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}) $
设 $n$ 阶实方阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A}^3=\boldsymbol{A}$, 证明: 若对任意的实列向量 $\boldsymbol{x}$,均有 $\boldsymbol{x}^{\prime} \boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{A x} \leq \boldsymbol{x}^{\prime} \boldsymbol{x}$, 则 $\boldsymbol{A}$ 是实对称阵.
设 $\boldsymbol{A}$ 为数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n(n>1)$ 阶方阵, $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=n-1, \boldsymbol{A}^*$ 是 $\boldsymbol{A}$的伴随矩阵. 记齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解空间为 $V_{\boldsymbol{A}}, \boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解空间为 $V_{\boldsymbol{A}^*}$. 证明: $\mathbb{K}^n=V_{\boldsymbol{A}} \oplus V_{\boldsymbol{A}^*}$ 成立的充要条件是 $\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{A}^*\right) \neq 0$.
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{C}$ 为 $n$ 阶实对称阵, $\boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶实方阵, $\boldsymbol{D}=\operatorname{diag}\left\{d_1, d_2, \cdots\right.$, $\left.d_n\right\}, d_i>0(1 \leq i \leq n)$, 满足:
$$
\left|\begin{array}{cc}
\mathrm{i} \boldsymbol{A}+\boldsymbol{D} & \mathrm{i} \boldsymbol{B} \\
\boldsymbol{B}^{\prime} & \boldsymbol{C}
\end{array}\right|=0,
$$
其中 $\mathrm{i}=\sqrt{-1}$ 为虚数单位. 证明: $\left|B^2+C^2\right|=0$.
证明: 存在 $n$ 阶实方阵 $\boldsymbol{A}$, 使得
$$
\sin \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccccc}
\frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \cdots & \cdots & \frac{1}{2^n} \\
& \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \cdots & \frac{1}{2^{n-1}} \\
& & \ddots & \ddots & \vdots \\
& & & \ddots & \frac{1}{4} \\
& & & & \frac{1}{2}
\end{array}\right) .
$$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶正定实对称阵, $\boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 为 $n$ 阶实反对称阵, 使得 $B A^{-1} C$ 为对称阵. 证明:
$|\boldsymbol{A}| \cdot|\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C}| \leq|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}| \cdot|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{C}|,$
并求等号成立的充分必要条件.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶正定实对称阵, $\boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 为 $n$ 阶半正定实对称阵, 使得 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{C}$ 为对称阵. 证明:
$
|\boldsymbol{A}| \cdot|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C}| \leq|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}| \cdot|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{C}|,
$
并求等号成立的充要条件.
设 $M_n(\mathbb{C})$ 是 $n$ 阶复方阵全体构成的线性空间, $M_n(\mathbb{C})$ 上的线性变换 $\varphi$ 定义为 $\varphi(\boldsymbol{X})=\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{A}^{\prime}$, 其中 $\boldsymbol{A} \in M_n(\mathbb{C})$. 证明: $\varphi$ 可对角化的充要条件是 $A$ 可对角化.