解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-\sqrt[3]{1+3 x}}{\ln \left(1+x^2\right)}$.
求曲线积分: $\int_L\left[\left(x^2+y^2\right)^2+y^2\right] \mathrm{d} s$ ，其中
$$
L: x^2+y^2=x
$$
求二重积分 $\iint_D \frac{\mathrm{d} \sigma}{\sqrt{x+y+4}}$, 其中
$$
D=\{(x, y):|x|+|y| \leq 1\} .
$$
求 $I=\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^{1-x} \mathrm{~d} z \int_0^{1-x-z}(1-y) e^{-(1-y-z)^2} \mathrm{~d} y$.
已知 $y(x)$ 由 $x=\int_1^{y-x} \sin ^2\left(\frac{\pi}{4} t\right) \mathrm{d} t$ 确定，求 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}$.
求曲面积分: $\iint_S x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-x^2 y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+y^2 z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 由 $z=x^2+y^2$ ，柱面 $x^2+y^2=1$ 以及三个坐标面在第一卦 限所围曲面外侧.
讨论 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^2+y^2\right) \sin \frac{1}{x^2+y^2},(x, y) \neq(0,0) \\ 0,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$
在点 $(0,0)$ 的连续性，偏导数存在性以及可微性.
讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^n n \text { ! }}{n^n}$ 的敛散性，其中 $a>0$.
已知 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $f(1)=0$, 则 $\left\{x^n\right\}$ 与 $\left\{x^n f(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上是否一致收敛，说明你的理由.
已知$x_1=25$，$x_{n+1}=\arctan x_{n}$$(n =1,2,3,...)$.
(1)证明数列$
\left\{{x_n}\right\}
$有极限,并求此极限.
(2)求$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x_n-x_{n+1}}{x_n^3}
$.
已知 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上二阶可导，且
$$
\max _{0 \leq x \leq 2}\left\{|f(x)|,\left|f^{\prime \prime}(x)\right|\right\} \leq 1 ，
$$
证明: 对任意的 $x \in[0,2],\left|f^{\prime}(x)\right| \leq \mathbf{2}$.
证明: $I(x)=\int_0^{+\infty} \frac{\sin (x y)}{y} d y$ 在 $(0,+\infty)$ 上内闭一致 收敛.