本试卷总分150分,考试时间120分钟。
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷由kmath.cn自动生成。
学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________
单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
关于矩阵的乘法下列描述错误的是
$\text{A.}$ 满足交换律
$\text{B.}$ 不满足消去律
$\text{C.}$ 满足结合律
$\text{D.}$ 满足分配律
设 $A, B$ 都是 $n$ 阶可逆矩阵且满足 $A X B=C$, 则 $X= $
$\text{A.}$ $A^{-1} B^{-1} C$
$\text{B.}$ $A^{-1} C B^{-1}$
$\text{C.}$ $B^{-1} C A^{-1}$
$\text{D.}$ $C A^{-1} B^{-1}$
设 $r(A)$ 和 $r(B)$ 分别表示某 $n$ 元非齐次线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩, 该方程组有解 当且仅当
$\text{A.}$ $r(A) < n$
$\text{B.}$ $r(A)>r(B)$
$\text{C.}$ $r(A) < r(B)$
$\text{D.}$ $r(A)=r(B)$
$n$ 阶方阵 $A$ 可逆的充分必要条件是
$\text{A.}$ 任一行向量都是非零向量
$\text{B.}$ 任一列向量都是非零向量
$\text{C.}$ 线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有解
$\text{D.}$ 当 $\boldsymbol{x} \neq \mathbf{0}$ 时, $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} \neq \mathbf{0}$, 其中 $\boldsymbol{x}=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)^T$
下列各项中为某三阶行列式中带有正号的项是
$\text{A.}$ $a_{11} a_{23} a_{32}$
$\text{B.}$ $a_{12} a_{31} a_{23}$
$\text{C.}$ $a_{13} a_{22} a_{31}$
$\text{D.}$ $a_{23} a_{12} a_{32}$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设矩阵 $A=\left[\begin{array}{ll}k & 1 \\ 1 & k\end{array}\right]$ 的秩为 1 , 则 $k= $.
给定 $\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 0 & 1\end{array}\right|$, 则余子式 $M_{23}= $, 代数余子式 $A_{21}= $.
设 $A$ 为三阶方阵, $B$ 为四阶方阵, $|A|=3,|B|=-2$, 则 $|2 A|= ,|| B|A|= $.
设 $A=\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 0 & 1\end{array}\right]$, 则 $A^2=$ ________ , $A^{100}=$ ________
设 $A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & a\end{array}\right]$ 不可逆, 则 $a=$ ________
$A^*=$ ________
如A可逆，则$A^{-1}$= ________
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
给定矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ -3 & -2 & 1\end{array}\right]$, 计算
(1) $|A|$
(2) $A^{-1}$
(3) $A A^T$
(4) 设有矩阵方程 $A X=2 X+A$, 求 $X$
设向量组 $\alpha_1=(1,2,1,3)^T, \alpha_2=(4,-1,-5,-6)^T, \alpha_3=(1,-3,-4,-7)^T, \alpha_4=$ $(2,1,-1,0)^T$. 求该向量组的秩和极大无关组, 并把其余列向量用极大无关组线性表示.
设有线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+3 x_2+x_3=0 \\ 3 x_1+2 x_2+3 x_3=-1 \\ -x_1+4 x_2+a x_3=b\end{array}\right.$, 问 $a, b$ 为何值时方程组有无穷多解? 并用基础解 系表示该通解.
求矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -4 & 2 & 3\end{array}\right]$ 的最大特征值及其对应的特征向量.
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关, 证明 $\alpha_1+2 \alpha_2, 2 \alpha_2+3 \alpha_3, 3 \alpha_3+\alpha_1$ 也线性无关.