单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=\left|\begin{array}{cccc}2 x & x & 1 & 0 \\ 1 & x & 2 & 3 \\ 2 & 3 & x & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 x\end{array}\right|$ 中, 则 $x^3$ 的系数是
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ -4
在下列 5 阶行列式中, 符号为正的项是
$\text{A.}$ $a_{13} a_{24} a_{32} a_{41} a_{55}$
$\text{B.}$ $a_{15} a_{31} a_{22} a_{44} a_{53}$
$\text{C.}$ $a_{23} a_{32} a_{41} a_{15} a_{54}$
$\text{D.}$ $a_{31} a_{25} a_{43} a_{14} a_{52}$
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right), A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵, 则 $\left|A^*\right|=$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $2$
$\text{D.}$ $4$
设 $A=\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 3 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 3 \\ -3 & 0 & -1\end{array}\right)$, 则 $|A B|=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 8
已知 $A, B$ 都是 $n$ 阶矩阵, 且 $A B=0$, 则必有
$\text{A.}$ $A=0$ 或 $B=0$
$\text{B.}$ $|A|=|B|=0$
$\text{C.}$ $A=B=0$
$\text{D.}$ $|A|=0$ 或 $|B|=0$
可量组 $a_1=(1,1,1,1)^T, a_2=(1,2,3,4)^T, a_3=(0,1,2,3)^T$ 的秩为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $A$ 是 3 阶矩阵, 且 $|A|=-2$ 则 $\left|\left(\frac{1}{12} A\right)^{-1}+(3 A)^*\right|=$
$\text{A.}$ -108
$\text{B.}$ 108
$\text{C.}$ 54
$\text{D.}$ -54
设向量组 $a_1=(1,-t, 3,0)^T, a_2=(0,2,-t, 2)^T, a_3=(-1,4,-3,0)^T$, 若 $a_1, a_2, a_3$ 线性相关,则 $t=$
$\text{A.}$ -4
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ -2
已知 $a=(k, 1,1)^T$ 是 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1\end{array}\right)$ 的一个特征向量, 则 $k=$
$\text{A.}$ $k=1$ 或 $k=-2$
$\text{B.}$ $k=-1$ 或 $k=-2$
$\text{C.}$ $k=-1$ 或 $k=2$
$\text{D.}$ $k=1$ 或 $k=2$
设 4 阶矩阵 $A$ 的秩为 $3, \eta_1, \eta_2$ 为非齐次线性方程 $A x=b$ 的两个不同的解, $c$ 为任意常数,则该方程组 $A x=b$ 的通解为
$\text{A.}$ $\eta_1+c \frac{\eta_1-\eta_2}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\eta_1-\eta_2}{2}+c \eta_1$
$\text{C.}$ $\eta_1+c \frac{\eta_1+\eta_2}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\eta_1+\eta_2}{2}+c \eta_1$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设向量组 $a_1, a_2, a_3$ 线性无关, $b_1=3 a_1+a_2-a_3, b_2=4 a_1+a_2-a_3, b_3=a_2+a_3$, 讨论向量组 $b_1, b_2, b_3$ 的线性相关性。
设 $D=\left|\begin{array}{cccc}-2 & 3 & 0 & 4 \\ 1 & -2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & -1 & 5\end{array}\right|, A_{i j}$ 是元素 ${a_{i j}}$ 的代数余子式, 试计算 ${2 A_{13}+3 A_{23}+3 A_{33}-2 A_{43}}$.
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & -2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & -3\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}1 & -3 \\ 2 & 2 \\ 3 & -1\end{array}\right)$, 求
(1) $A-2 E$
(2) 求矩阵 $A B$.
已知 $A=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & 3 & 1 & 2 \\ -1 & 3 & 0 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 7 & 2 & 5 \\ 4 & 2 & 14 & 0 & 6\end{array}\right)$, 试求(1) 将矩阵 $A$ 变为行最简形矩阵; (2) 求矩阵 $A$ 列向量组的一个最大无关组; (3) 将不属于最大无关组的向量用最大无关组表示。
$k$ 取何值时, 线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}k x_1+x_2+x_3=1, \\ x_1+k x_2-x_3=k, \text { (1) 有唯一解? (2) 无解? (3) 有无穷多解? } \\ x_1+x_2+k x_3=k .\end{array}\right.$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}3 & 4 & 0 \\ 4 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right)$, （1）求矩阵 $A$ 的特征值；（2）求矩阵 $A$ 的全部特征向量；(3) 求 $\left|A^2-7 A+E\right|$