单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
已知当 $x \rightarrow 0$ 时, $\int_0^{x^2}[1-\cos (x t)] \mathrm{d} t$ 与 $x^n$ 为同阶无穷小, 则 $n$ 的值为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 8
设 $a>\frac{\mathrm{e}^3}{4}$, 则方程 $a(x+1)^2 \mathrm{e}^x=1$ 的实根个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x^2 y}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ 可微, 且取极值
$\text{B.}$ 可微但不取极值
$\text{C.}$ 不可微,但取极值
$\text{D.}$ 不可微,也不取极值
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛,则下列级数绝对收敛的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{u_n}{n}$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{u_n^2}{n}$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n+1}-u_n\right)$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n\right)^n$
设 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)$ 为 3 阶实对称矩阵, $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=2, \boldsymbol{A}$ 的每行元素之和均为 0 . 设 2,3 为 $\boldsymbol{A}$ 的非零特征值, 用 $A_{11}$ 表示 $\boldsymbol{A}$ 的元素 $a_{11}$ 所对应的代数余子式, 则 $A_{11}=$.
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 5
$\text{D.}$ 6
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶实对称阵, $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随阵, 且 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})+\mathrm{r}\left(\boldsymbol{A}^*\right)=1$, 已知 $\lambda_1=2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值, 对应的特征向量为 $\boldsymbol{\alpha}_1=(-1,1,1)^{\mathrm{T}}$, 则方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的基础解系为
$\text{A.}$ $(1,1,0)^{\mathrm{T}}$
$\text{B.}$ $(1,2,-1)^{\mathrm{T}}$
$\text{C.}$ $(1,1,0)^{\mathrm{T}},(1,-1,0)^{\mathrm{T}}$
$\text{D.}$ $(2,1,1)^{\mathrm{T}},(1,0,1)^{\mathrm{T}}$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶矩阵,下列命题正确的有
(1) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 的特征向量, 则 $\boldsymbol{\alpha}$ 必为 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量
(2) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $\boldsymbol{A}^*$ 的特征向量, 则 $\boldsymbol{\alpha}$ 必为 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量
(3) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $\boldsymbol{A}^2$ 的特征向量, 则 $\boldsymbol{\alpha}$ 必为 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量
(4) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $k \boldsymbol{A}(k \neq 0)$ 的特征向量, 则 $\boldsymbol{\alpha}$ 必为 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量
$\text{A.}$ 1个
$\text{B.}$ 2个
$\text{C.}$ 3个
$\text{D.}$ 4个
设在区间 $[0,1]$ 上任取 $n$ 个点 $(n \geqslant 2)$, 则距离最远的两点间的平均距离为
$\text{A.}$ $\frac{n-1}{n}$
$\text{B.}$ $\frac{n-1}{2 n}$
$\text{C.}$ $\frac{n-1}{n+1}$
$\text{D.}$ $\frac{n-1}{2(n+1)}$
设 $A, B, C$ 是三个随机事件, $0 < P(A) < 1, P(A C)>0$, 则下列说法错误的是
$\text{A.}$ $\mathrm{P}(A B)+\mathrm{P}(A C)+\mathrm{P}(B C) \geqslant \mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)+\mathrm{P}(C)-1$
$\text{B.}$ $\mathrm{P}(A B)+\mathrm{P}(A C) \geqslant \mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B C)-1$
$\text{C.}$ $\mathrm{P}(B \mid A)>\mathrm{P}(B \mid A C)$
$\text{D.}$ $\mathrm{P}(B \mid A)+\mathrm{P}(B \mid \bar{A}) \geqslant \mathrm{P}(B)$
设总体 $X$ 在 $[\theta, \theta+1]$ 上服从均匀分布, $\theta$ 未知, $\left(X_1, X_2, \cdots X_n\right)$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, 则下列统计量不可作为 $\theta$ 的最大似然估计量的是
$\text{A.}$ $\min \left\{\boldsymbol{X}_1, \boldsymbol{X}_2, \cdots \boldsymbol{X}_n\right\}$
$\text{B.}$ $\max \left\{X_1, X_2, \cdots X_n\right\}-1$
$\text{C.}$ $\frac{\max \left\{X_1, X_2, \cdots X_n\right\}+\min \left\{X_1, X_2, \cdots X_n\right\}-1}{2}$
$\text{D.}$ $\max \left\{X_1, X_2, \cdots X_n\right\}-2$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $n=1,2, \cdots$, 则 $\int_0^{n \pi} x|\sin x| \mathrm{d} x=$
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{x}{n}\right)\left(1+\frac{2 x}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n x}{n}\right)\right]^{\frac{1}{n}}$, 则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=$
设 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数, 且 $f\left(x, x^2\right)=x^2, f_{x y}^{\prime \prime}(x, y)=2 x y, f_x^{\prime}(x, 0)=2 x$, 则 $\mathrm{d} f(1,1)$
差分方程 $2 y_{t+1}-6 y_t=5 \cdot 3^t$ 满足 $y_0=0$ 的特解为
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶正交矩阵, 且 $|\boldsymbol{A}| < 0$. 交换 $\boldsymbol{A}$ 的第二列和第三列, 再将第二列的 -1 倍加到第一列, 所得矩阵为 $\boldsymbol{B}$, 则 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{B}=$
从编号为 1 到 9 的九张卡片中有放回地任取 5 张, 试用切比雪夫不等式估计所取号码之和在 15 和 35 之间的概率至少为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $0 < x_1 < \frac{\pi}{4}$, 数列 $\left\{x_n\right\}$ 由方程 $x_n x_{n+1}=\left(\tan x_{n+1}\right)^2$ 确定,证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$存在, 并求之.
计算二重积分 $\iint_D\left[\frac{x^2-x y+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}+(x-1) y^2\right] \mathrm{d} \sigma$, 其中 $D: x^2+y^2 \leqslant 2 x$, $y \geqslant 0$.
求幂级数 $\sum_{n=2} \frac{n}{n^2-1} x^n$ 的收敛域及和函数.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=0$, 且对任意的 $x \in(0,1)$, $\int_0^x f(t) \mathrm{d} t \neq 0$, 证明在 $(0,1)$ 内存在一点 $\xi$, 使 $f(\xi)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶实对称阵, $\boldsymbol{\xi}_1=(a,-2,1)^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解, $\boldsymbol{\xi}_2=(a, a,-3)^{\mathrm{T}}$是 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解, 且 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}3 & 1 & 2 \\ 1 & a & -2 \\ 2 & -2 & 9\end{array}\right)$ 是正定矩阵.
(I) 求参数 $a$;
(II) 求正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{y}$, 将二次型 $f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}$ 化为标准形;
(III) 当 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=2$ 时, 求 $f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}$ 的最大值.
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 独立同分布, 且
$$
X \sim f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}, & x>0, \\
0, & x \leqslant 0 .
\end{array} \text { 且 } Z=\frac{\min \{X, Y\}}{\max \{X, Y\} .}\right.
$$
(I) 求 $Z$ 的概率密度函数;
(II) 判断 $X$ 和 $Z$ 的独立性, 并说明理由.