填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)=x^3+4$, 分别在有理数域, 实数域, 复数域上把 $f(x)$ 分解为不可约的 多项式的乘积.
计算行列式 $\left|\begin{array}{cccc}2 & 5 & -3 & -2 \\ -2 & -3 & 2 & -5 \\ 1 & 3 & -2 & 2 \\ -1 & -6 & 4 & 3\end{array}\right|$.
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶方阵, 且存在非零复数 $k$, 使得 $\boldsymbol{A B}=k \boldsymbol{A}+k \boldsymbol{B}$,
(1) 证明: $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B A}$.
(2) 设 $k=1$, 当 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 2\end{array}\right)$ 时, 求 $\boldsymbol{B}$.
含参数 $a, b, c, d$ 的方程组如下
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2=a \\
x_2+x_3=b \\
x_3+x_4=c \\
x_4+x_1=d
\end{array},\right.
$$
当参数满足什么条件时, 该方程组有解.
在 3 维欧氏空间 $\mathbb{R}^3=\left\{\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right): x, y, z \in \mathbb{R}\right\}$ (通常的内积)中建立了右手坐标系, 定义 旋转变换 $\rho$ : 旋转轴为起点在原点的向量 $(1,1,1)$, 旋转角为 $\frac{2 \pi}{3}$ (逆时针方向). 即 $\rho$ 把全体起 点在原点的向量绕轴转动 $\frac{2 \pi}{3}$.
(1) 求 $\rho$ 在 $\mathbb{R}^3$ 的标准基下的矩阵.
(2) 求 $\rho$ 的全部不变子空间.
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & a \\ 0 & 2 & b \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$, 其中 $a, b$ 为任意数, 求 $\boldsymbol{A}$ 的 Jordan 标准形.
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 同为 $n$ 阶方阵.
(1) 证明: $\left(\begin{array}{cc}A B & A \\ O & O\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{cc}O & A \\ O & B A\end{array}\right)$ 相似.
(2) 证明: $\boldsymbol{A B}$ 与 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ 有相同的特征多项式.
线性空间 $E$ 上一个线性变换 $\varphi$ 称为半单的, 如果对 $\varphi$ 的每个不变子空间 $E_1 \subseteq E$, 都存在 $\varphi$ 的不变子空间 $E_2 \subseteq E$, 使得 $E=E_1 \oplus E_2$.
证明: 若 $\varphi$ 是线性空间 $E$ 上的半单变换, $E_1$ 是 $\varphi$ 的一个不变子空间, 则 $\varphi$ 限制在 $E_1$ 上也是 半单的.