单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续, 其 2 阶导函数 $f^{\prime \prime}(x)$ 的图形 如右图所示, 则曲线 $y=f(x)$ 的拐点个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $y=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{2 x}+\left(x-\frac{1}{3}\right) \mathrm{e}^x$ 是二阶常系数非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=c \mathrm{e}^x$ 的一个特解, 则( )
$\text{A.}$ $a=-3, b=2, c=-1$.
$\text{B.}$ $a=3, b=2, c=-1$.
$\text{C.}$ $a=-3, b=2, c=1$.
$\text{D.}$ $a=3, b=2, c=1$.
若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 条件收敛, 则 $x=\sqrt{3}$ 与 $x=3$ 依次为亘级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_n(x-1)^n$ 的
$\text{A.}$ 收敛点, 收敛点.
$\text{B.}$ 收敛点, 发散点.
$\text{C.}$ 发散点, 收敛点.
$\text{D.}$ 发散点, 发散点.
设 $D$ 是第一象限中的曲线 $2 x y=1,4 x y=1$ 与直线 $y=x, y=\sqrt{3} x$ 围成的平面区域, 函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上连续, 则 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=(\quad)$
$\text{A.}$ $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} {~d} θ \int_{\frac{1}{\sin 2 θ}}^{\frac{1}{\sin 2 θ}} f(r \cos θ, r \sin θ) r {~d} r$.
$\text{B.}$ $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} {~d} θ \int_{\frac{1}{\sqrt{\sin 2 θ}}}^{\sqrt{\sqrt{2 \sin 2 θ}}} f(r \cos θ, r \sin θ) r {~d} r$.
$\text{C.}$ $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} {~d} θ \int_{\frac{1}{2 \sin 2 θ}}^{\frac{1}{\sin 2 θ}} f(r \cos θ, r \sin θ) {d} r$.
$\text{D.}$ $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} {~d} θ \int_{\frac{1}{\sqrt{\sin 2 θ}}}^{\sqrt{\sqrt{2 \cdot \sin 2 θ}}}(r \cos θ, r \sin θ) {d} r$.
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 1 & 4 & a^2\end{array}\right), \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{l}1 \\ d \\ d^2\end{array}\right)$. 若集合 $\Omega=\{1,2\}$, 则线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解的充分 必要条件为 ( )
$\text{A.}$ $a \notin \Omega, d \notin \Omega$.
$\text{B.}$ $a \notin \Omega, d \in \Omega$.
$\text{C.}$ $a \in \Omega, d \notin \Omega$.
$\text{D.}$ $a \in \Omega, d \in \Omega$.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 在正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P y}$ 下的标准形为 $2 y_1^2+y_2^2-y_3^2$, 其中 $\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\right)$. 若 $\boldsymbol{Q}=\left(\boldsymbol{e}_1,-\boldsymbol{e}_3, \boldsymbol{e}_2\right)$, 则 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 在正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$ 下的标准形为
$\text{A.}$ $2 y_1^2-y_2^2+y_3^2$.
$\text{B.}$ $2 y_1^2+y_2^2-y_3^2$.
$\text{C.}$ $2 y_1^2-y_2^2-y_3^2$.
$\text{D.}$ $2 y_1^2+y_2^2+y_3^2$.
若 $A, B$ 为任意两个随机事件,则( )
$\text{A.}$ $P(A B) \leqslant P(A) P(B)$.
$\text{B.}$ $P(A B) \geqslant P(A) P(B)$.
$\text{C.}$ $P(A B) \leqslant \frac{P(A)+P(B)}{2}$.
$\text{D.}$ $P(A B) \geqslant \frac{P(A)+P(B)}{2}$.
设随机变量 $X, Y$ 不相关, 且 $E(X)=2, E(Y)=1, D(X)=3$, 则 $E[X(X+Y-2)]=$()
$\text{A.}$ $-3$.
$\text{B.}$ 3 .
$\text{C.}$ $-5$.
$\text{D.}$ 5
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (\cos x)}{x^2}=$
$(10) \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{\sin x}{1+\cos x}+|x|\right) \mathrm{d} x=$
若函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $\mathrm{e}^z+x y z+x+\cos x=2$ 确定, 则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,1)}=$
设 $\Omega$ 是由平面 $x+y+z=1$ 与三个坐标平面所围成的空间区域,则 $\iiint_{\Omega}(x+2 y+3 z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z =$
$n$ 阶行列式 $\left|\begin{array}{ccccc}-1 & 2 & \cdots & 0 & 2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 2 & 2 \\ 0 & 0 & \cdots & -1 & 2\end{array}\right|=$
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从正态分布 $N(1,0 ; 1,1 ; 0)$, 则 $P\{X Y-Y < 0\}=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)=x+a \ln (1+x)+b x \sin x, g(x)=k x^3$. 若 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $x \rightarrow 0$ 时是等价无穷小, 求 $a, b, k$ 值.
设函数 $f(x)$ 在定义域 $I$ 上的导数大于零. 若对任意的 $x_0 \in I$, 曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 处 的切线与直线 $x=x_0$ 及 $x$ 轴所围成区域的面积恒为 4 , 且 $f(0)=2$, 求 $f(x)$ 的表达式.
已知函数 $f(x, y)=x+y+x y$, 曲线 $C: x^2+y^2+x y=3$, 求 $f(x, y)$ 在曲线 $C$ 上的最大方向导数.
（I ) 设函数 $u(x), v(x)$ 可导, 利用导数定义证明 $[u(x) v(x)]^{\prime}=u^{\prime}(x) v(x)+u(x) v^{\prime}(x)$;
( II) 设函数 $u_1(x), u_2(x), \cdots, u_n(x)$ 可导, $f(x)=u_1(x) u_2(x) \cdots u_n(x)$, 写出 $f(x)$ 的求导 公式.
已知曲线 L 的方程为 $\left\{\begin{array}{l}
z=\sqrt{2-x^2-y^2} \\
z=x
\end{array}\right. $
起点为 $ A(0, \sqrt{2}, 0) $, 终点为 $ B(0,-\sqrt{2}, 0) $ 计算曲线积 分 $ I=\int_L(y+z) \mathrm{d} x+\left(z^2-x^2+y\right) \mathrm{d} y+x^2 y^2 \mathrm{~d} z $
设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 为 $\mathbf{R}^3$ 的一个基, $\boldsymbol{\beta}_1=2 \boldsymbol{\alpha}_1+2 k \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_2=2 \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}_3=\boldsymbol{\alpha}_1+(k+1) \boldsymbol{\alpha}_3$.
( I ) 证明向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 为 $\mathbf{R}^3$ 的一个基;
(II ) 当 $k$ 为何值时, 存在非零向量 $\boldsymbol{\xi}$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 与基 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 下的坐标相同,并求所有的 $\boldsymbol{\xi}$.
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}0 & 2 & -3 \\ -1 & 3 & -3 \\ 1 & -2 & a\end{array}\right)$ 相似于矩阵 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 3 & 1\end{array}\right)$. (I) 求 $a, b$ 的值;
(II) 求可逆矩阵 $P$, 使 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵.
设随机变量 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}2^{-x} \ln 2, & x>0, \\ 0, & x \leqslant 0 .\end{cases}
$$
对 $X$ 进行独立重复的观测, 直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止, 记 $Y$ 为观测次数.
(I) 求 $Y$ 的概率分布;
(II) 求 $E(Y)$.
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x ; \theta)= \begin{cases}\frac{1}{1-\theta}, & \theta \leqslant x \leqslant 1, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
其中 $\theta$ 为末知参数. $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自该总体的简单随机样本.
(I) 求 $\theta$ 的矩估计量;
(II) 求 $\theta$ 的最大似然估计量.