单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
下列曲线中有渐近线的是(）
$\text{A.}$ $y=x+\sin x$.
$\text{B.}$ $y=x^{2}+\sin x$.
$\text{C.}$ $y=x+\sin \frac{1}{x}$.
$\text{D.}$ $y=x^{2}+\sin \frac{1}{x}$.
设函数 $f(x)$ 具有 2 阶导数, $g(x)=f(0)(1-x)+f(1) x$, 则在区间 $[0,1]$ 上 ( )
$\text{A.}$ 当 $f^{\prime}(x) \geqslant 0$ 时, $f(x) \geqslant g(x)$.
$\text{B.}$ 当 $f^{\prime}(x) \geqslant 0$ 时, $f(x) \leqslant g(x)$.
$\text{C.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ 时, $f(x) \geqslant g(x)$.
$\text{D.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ 时, $f(x) \leqslant g(x)$.
设 $f(x, y)$ 是连续函数, 则 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{-\sqrt{1-y^{2}}}^{1-y} f(x, y) \mathrm{d} x=(\quad)$
$\text{A.}$ $\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{x-1} f(x, y) d y+\int_{-1}^{0} d x \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) d y$.
$\text{B.}$ $\int_{0}^{1} dx \int_{0}^{1-x} f(x, y) d y+\int_{-1}^{0} d x \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{0} f(x, y) d y$.
$\text{C.}$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d θ \int_{0}^{\frac{1}{\cos θ+\sinθ}} f(r \cos θ, r \sinθ) d r+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} dθ \int_{0}^{1} f(r \cos θ, r \sin θ) d r$.
$\text{D.}$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} dθ \int_{0}^{\frac{1}{\cosθ+\sinθ}} f(r \cosθ, r \sinθ) r d r+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} dθ \int_{0}^{1} f(r \cosθ, r \sinθ) r d r$.
若 $\int_{-\pi}^{\pi}\left(x-a_{1} \cos x-b_{1} \sin x\right)^{2} \mathrm{~d} x=\min _{a, b \in \mathbf{R}}\left\{\int_{-\pi}^{\pi}(x-a \cos x-b \sin x)^{2} \mathrm{~d} x\right\}$, 则 $a_{1} \cos x+b_{1} \sin x=$( )
$\text{A.}$ $2 \sin x$.
$\text{B.}$ $2 \cos x$.
$\text{C.}$ $2 \pi \sin x$.
$\text{D.}$ $2 \pi \cos x$.
行列式 $\left|\begin{array}{llll}0 & a & b & 0 \\ a & 0 & 0 & b \\ 0 & c & d & 0 \\ c & 0 & 0 & d\end{array}\right|=$
$\text{A.}$ $(a d-b c)^{2}$.
$\text{B.}$ $-(a d-b c)^{2}$.
$\text{C.}$ $a^{2} d^{2}-b^{2} c^{2}$.
$\text{D.}$ $b^{2} c^{2}-a^{2} d^{2}$.
设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 均为 3 维向量, 则对任意常数 $k, l$, 向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}+k \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+l \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关是向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关的（）
$\text{A.}$ 必要非充分条件.
$\text{B.}$ 充分非必要条件.
$\text{C.}$ 充分必要条件.
$\text{D.}$ 既非充分也非必要条件.
设随机事件 $A$ 与 $B$ 相互独立, 且 $P(B)=0.5, P(A-B)=0.3$, 则 $P(B-A)=(\quad)$
$\text{A.}$ 0.1
$\text{B.}$ 0.2
$\text{C.}$ 0.3
$\text{D.}$ 0.4
设连续型随机变量 $X_{1}$ 与 $X_{2}$ 相互独立且方差均存在, $X_{1}$ 与 $X_{2}$ 概率密度分别为 $f_{1}(x)$ 与 $f_{2}(x)$, 随机变量 $Y_{1}$ 的概率密度为 $f_{Y_{1}}(y)=\frac{1}{2}\left[f_{1}(y)+f_{2}(y)\right]$, 随机变量 $Y_{2}=\frac{1}{2}\left(X_{1}+X_{2}\right)$, 则( )
$\text{A.}$ $E\left(Y_{1}\right)>E\left(Y_{2}\right), D\left(Y_{1}\right)>D\left(Y_{2}\right)$.
$\text{B.}$ $E\left(Y_{1}\right)=E\left(Y_{2}\right), D\left(Y_{1}\right)=D\left(Y_{2}\right)$.
$\text{C.}$ $E\left(Y_{1}\right)=E\left(Y_{2}\right), D\left(Y_{1}\right) < D\left(Y_{2}\right)$.
$\text{D.}$ $E\left(Y_{1}\right)=E\left(Y_{2}\right), D\left(Y_{1}\right)>D\left(Y_{2}\right)$.
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
曲面 $z=x^{2}(1-\sin y)+y^{2}(1-\sin x)$ 在点 $(1,0,1)$ 处的切平面方程为
设 $f(x)$ 是周期为 4 的可导奇函数, 且 $f^{\prime}(x)=2(x-1), x \in[0,2]$, 则 $f(7)=$
微分方程 $x y^{\prime}+y(\ln x-\ln y)=0$ 满足条件 $y(1)=\mathrm{e}^{3}$ 的解为 $y=$
设 $L$ 是柱面 $x^{2}+y^{2}=1$ 与平面 $y+z=0$ 的交线, 从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看去为逆时针方向, 则 曲线积分 $\oint_{L} z \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} z=$
设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+2 a x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3}$ 的负惯性指数为 1 , 则 $a$ 的取值范围是
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2 x}{3 \theta^{2}}, & \theta < x < 2 \theta \\ 0, & \text { 其他, }\end{array}\right.$ 其中 $\theta$ 是末知参数, $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自 总体 $X$ 的简单随机样本, 若 $c \sum^{n} X_{i}^{2}$ 是 $\theta^{2}$ 的无偏估计, 则 $c=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{1}^{x}\left[t^{2}\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{t}}-1\right)-t\right] \mathrm{d} t}{x^{2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}$.
设函数 $y=f(x)$ 由方程 $y^{3}+x y^{2}+x^{2} y+6=0$ 确定, 求 $f(x)$ 的极值.
设函数 $f(u)$ 具有二阶连续导数, $z=f\left(\mathrm{e}^{x} \cos y\right)$ 满足 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=\left(4 z+\mathrm{e}^{x} \cos y\right) \mathrm{e}^{2 x}$. 若 $f(0)=0$, $f^{\prime}(0)=0$, 求 $f(u)$ 的表达式.
设 $\Sigma$ 为曲面 $z=x^{2}+y^{2}(z \leqslant 1)$ 的上侧,计算曲面积分
$$
I=\iint_{\Sigma}(x-1)^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(y-1)^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(z-1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
$$
设数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $0 < a_{n} < \frac{\pi}{2}, 0 < b_{n} < \frac{\pi}{2}, \cos a_{n}-a_{n}=\cos b_{n}$, 且级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收玫. (I) 证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$;
(II) 证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}$ 收敛.
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrrr}1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & -3\end{array}\right), \boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵.
(I) 求方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系;
(II) 求满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{E}$ 的所有矩阵 $\boldsymbol{B}$.
证明 $n$ 阶矩阵 $\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{cccc}0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & 2 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & n\end{array}\right)$ 相似.
设随机变量 $X$ 的概率分布为 $P\{X=1\}=P\{X=2\}=\frac{1}{2}$. 在给定 $X=i$ 的条件下,随机变量 $Y$ 服 从均匀分布 $U(0, i)(i=1,2)$.
(I) 求 $Y$ 的分布函数 $F_{Y}(y)$;
(II) 求 $E(Y)$.
设总体 $X$ 的分布函数为 $F(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{ll}1-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{\theta}}, & x \geqslant 0, \\ 0, & x < 0,\end{array}\right.$ 其中 $\theta$ 是末知参数且大于零. $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本.
(I) 求 $E(X)$ 与 $E\left(X^{2}\right)$;
(II) 求 $\theta$ 的最大似然估计量 $\widehat{\theta_{n}}$;
(III) 是否存在实数 $a$, 使得对任何 $\varepsilon>0$, 都有 $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\left|\hat{\theta_{n}}-a\right| \geqslant \varepsilon\right\}=0$ ?