设总体 $X$ 的分布函数为 $F(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{ll}1-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{\theta}}, & x \geqslant 0, \\ 0, & x < 0,\end{array}\right.$ 其中 $\theta$ 是末知参数且大于零. $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本.
(I) 求 $E(X)$ 与 $E\left(X^{2}\right)$;
(II) 求 $\theta$ 的最大似然估计量 $\widehat{\theta_{n}}$;
(III) 是否存在实数 $a$, 使得对任何 $\varepsilon>0$, 都有 $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\left|\hat{\theta_{n}}-a\right| \geqslant \varepsilon\right\}=0$ ?