单选题 （共 9 题 ），每题只有一个选项正确
曲线 $y=\frac{x^{2}+x}{x^{2}-1}$ 的渐近线的条数为 ( )
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设函数 $f(x)=\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)\left(\mathrm{e}^{2 x}-2\right) \cdots\left(\mathrm{e}^{n x}-n\right)$, 其中 $n$ 为正整数, 则 $f^{\prime}(0)=(\quad)$
$\text{A.}$ $(-1)^{n-1}(n-1) !$.
$\text{B.}$ $(-1)^{n}(n-1) !$.
$\text{C.}$ $(-1)^{n-1} n !$
$\text{D.}$ $(-1)^{n} n ! .$
如果函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续, 那么下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在, 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微.
$\text{B.}$ 若极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}}$ 存在, 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微.
$\text{C.}$ 若 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微, 则极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在.
$\text{D.}$ 若 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微, 则极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}}$ 存在.
设 $I_{k}=\int_{0}^{k \pi} \mathrm{e}^{x^{2}} \sin x \mathrm{~d} x(k=1,2,3)$, 则有 ( )
$\text{A.}$ $I_{1} < I_{2} < I_{3}$.
$\text{B.}$ $I_{3} < I_{2} < I_{1}$.
$\text{C.}$ $I_{2} < I_{3} < I_{1}$.
$\text{D.}$ $I_{2} < I_{1} < I_{3}$.
设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ c_{1}\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_{2}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ c_{2}\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_{3}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ c_{3}\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_{4}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ c_{4}\end{array}\right)$, 其中 $c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}$ 为任意常数, 则下列向量组线 性相关的为 ( )
$\text{A.}$ $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$.
$\text{B.}$ $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$.
$\text{C.}$ $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$.
$\text{D.}$ $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵, $\boldsymbol{P}$ 为 3 阶可逆矩阵, 且 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$. 若 $\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)$, $Q=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)$, 则 $Q^{-1} A Q=(\quad)$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$.
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立,且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布, 则 $P\{X < Y\}=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{1}{5}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{C.}$ $\frac{2}{3}$.
$\text{D.}$ $\frac{4}{5}$.
将长度为 $1 \mathrm{~m}$ 的木棒随机地截成两段, 则两段长度的相关系数为( )
$\text{A.}$ $1$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ $-1$.
已知 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & a \\ 0 & a & -1\end{array}\right)$, 二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\right) \boldsymbol{x}$ 的秩为 2 .
(I) 求实数 $a$ 的值;
(II) 求正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$ 将二次型 $f$ 化为标准形.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若函数 $f(x)$ 满足方程 $f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime}(x)-2 f(x)=0$ 及 $f^{\prime \prime}(x)+f(x)=2 \mathrm{e}^{x}$, 则 $f(x)=$
$\int_{0}^{2} x \sqrt{2 x-x^{2}} \mathrm{~d} x=$
$\left.\operatorname{grad}\left(x y+\frac{z}{y}\right)\right|_{(2,1,1)}=$
设 $\Sigma=\{(x, y, z) \mid x+y+z=1, x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0\}$, 则 $\iint_{\Sigma} y^{2} \mathrm{~d} S=$
设 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 3 维单位列向量, $\boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵, 则矩阵 $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 的秩为
设 $A, B, C$ 是随机事件, $A$ 与 $C$ 互不相容, $P(A B)=\frac{1}{2}, P(C)=\frac{1}{3}$, 则 $P(A B \mid \bar{C})=$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明: $x \ln \frac{1+x}{1-x}+\cos x \geqslant 1+\frac{x^{2}}{2} \quad(-1 < x < 1)$.
求函数 $f(x, y)=x \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}$ 的极值.
求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4 n^{2}+4 n+3}{2 n+1} x^{2 n}$ 的收玫域及和函数.
已知曲线 $L:\left\{\begin{array}{l}x=f(t), \\ y=\cos t\end{array}\left(0 \leqslant t < \frac{\pi}{2}\right)\right.$, 其中函数 $f(t)$ 具有连续导数, 且 $f(0)=0, f^{\prime}(t)>0\left(0 < t < \frac{\pi}{2}\right)$. 若曲线 $L$ 的切线与 $x$ 轴的交点到切点的距离恒为 1 , 求函数 $f(t)$ 的表达式, 并求以曲线 $L$ 及 $x$ 轴和 $y$ 轴为边界的区域的面积.
已知 $L$ 是第一象限中从点 $(0,0)$ 沿圆周 $x^{2}+y^{2}=2 x$ 到点 $(2,0)$, 再沿圆周 $x^{2}+y^{2}=4$ 到点 $(0,2)$ 的曲线段, 计算曲线积分 $I=\int_{L} 3 x^{2} y \mathrm{~d} x+\left(x^{3}+x-2 y\right) \mathrm{d} y$.
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{llll}1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ a & 0 & 0 & 1\end{array}\right), \quad \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{r}1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$.
( I ) 计算行列式 $|\boldsymbol{A}|$;
(II) 当实数 $a$ 为何值时, 方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 有无穷多解, 并求其通解.
设二维离散型随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布为
(I) 求 $P\{X=2 Y\}$;
(II) 求 $\operatorname{Cov}(X-Y, Y)$.
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立且分别服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 与 $N\left(\mu, 2 \sigma^{2}\right)$, 其中 $\sigma$ 是末知参数 且 $\sigma>0$. 记 $Z=X-Y$.
(I) 求 $Z$ 的概率密度 $f\left(z ; \sigma^{2}\right)$;
( II ) 设 $Z_{1}, Z_{2}, \cdots, Z_{n}$ 为来自总体 $Z$ 的简单随机样本, 求 $\sigma^{2}$ 的最大似然估计量 $\widehat{\sigma^{2}}$;
( III ) 证明 $\widehat{\sigma^{2}}$ 为 $\sigma^{2}$ 的无偏估计量.