单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
曲线 $y=(x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{3}(x-4)^{4}$ 的拐点是 $(\quad)$
$\text{A.}$ $(1,0)$.
$\text{B.}$ $(2,0)$.
$\text{C.}$ $(3,0)$.
$\text{D.}$ $(4,0)$.
(2) 设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调减少, $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0, S_{n}=\sum_{k=1} a_{k}(n=1,2, \cdots)$ 无界, 则幂级数 $\sum_{n=1} a_{n}(x-1)^{n}$ 的收 敛域为( )
$\text{A.}$ $(-1,1]$.
$\text{B.}$ $[-1,1)$.
$\text{C.}$ $[0,2)$.
$\text{D.}$ $(0,2]$.
设函数 $f(x)$ 具有二阶连续导数, 且 $f(x)>0, f^{\prime}(0)=0$, 则函数 $z=f(x) \ln f(y)$ 在点 $(0,0)$ 处取 得极小值的一个充分条件是 ( )
$\text{A.}$ $f(0)>1, f^{\prime \prime}(0)>0$.
$\text{B.}$ $f(0)>1, f^{\prime \prime}(0) < 0$.
$\text{C.}$ $f(0) < 1, f^{\prime \prime}(0)>0$.
$\text{D.}$ $f(0) < 1, f^{\prime \prime}(0) < 0$.
设 $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (\sin x) \mathrm{d} x, J=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (\cot x) \mathrm{d} x, K=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (\cos x) \mathrm{d} x$, 则 $I, J, K$ 的大小关系为( )
$\text{A.}$ $I < J < K$.
$\text{B.}$ $I < K < J$.
$\text{C.}$ $J < I < K$.
$\text{D.}$ $K < J < I$.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵, 将 $\boldsymbol{A}$ 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 $\boldsymbol{B}$, 再交换 $\boldsymbol{B}$ 的第 2 行与第 3 行得单位矩 阵. 记 $\boldsymbol{P}_{1}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{P}_{2}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)$, 则 $\boldsymbol{A}=$( ）
$\text{A.}$ $\boldsymbol{P}_{1} \boldsymbol{P}_{2}$.
$\text{B.}$ $\boldsymbol{P}_{1}^{-1} \boldsymbol{P}_{2}$.
$\text{C.}$ $\boldsymbol{P}_{2} \boldsymbol{P}_{1}$.
$\text{D.}$ $\boldsymbol{P}_{2} \boldsymbol{P}_{1}^{-1}$.
设 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right)$ 是 4 阶矩阵, $\boldsymbol{A}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵. 若 $(1,0,1,0)^{\mathrm{T}}$ 是方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一 个基础解系,则 $A^{*} x=\mathbf{0}$ 的基础解系可为（）
$\text{A.}$ $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$.
$\text{B.}$ $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$.
$\text{C.}$ $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$.
$\text{D.}$ $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$
设 $F_{1}(x)$ 与 $F_{2}(x)$ 为两个分布函数, 其相应的概率密度 $f_{1}(x)$ 与 $f_{2}(x)$ 是连续函数, 则必为概率 密度的是 ( )
$\text{A.}$ $f_{1}(x) f_{2}(x)$.
$\text{B.}$ $2 f_{2}(x) F_{1}(x)$.
$\text{C.}$ $f_{1}(x) F_{2}(x)$.
$\text{D.}$ $f_{1}(x) F_{2}(x)+f_{2}(x) F_{1}(x)$.
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 且 $E(X)$ 与 $E(Y)$ 存在, 记 $U=\max \{X, Y\}, V=\min \{X, Y\}$, 则 $E(U V)=()$
$\text{A.}$ $E(U) \cdot E(V)$.
$\text{B.}$ $E(X) \cdot E(Y)$.
$\text{C.}$ $E(U) \cdot E(Y) .$
$\text{D.}$ $E(X) \cdot E(V)$.
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
曲线 $y=\int_{0}^{x} \tan t \mathrm{~d} t\left(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{4}\right)$ 的弧长 $s=$
微分方程 $y^{\prime}+y=\mathrm{e}^{-x} \cos x$ 满足条件 $y(0)=0$ 的解为 $y=$
设函数 $F(x, y)=\int_{0}^{x y} \frac{\sin t}{1+t^{2}} \mathrm{~d} t$, 则 $\left.\frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}}\right|_{\substack{x=0 \\ y=2}}=$
设 $L$ 是柱面 $x^{2}+y^{2}=1$ 与平面 $z=x+y$ 的交线, 从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看去为逆时针方向, 则 曲线积分 $\oint_{L} x z \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y+\frac{y^{2}}{2} \mathrm{~d} z=$
若二次曲面的方程 $x^{2}+3 y^{2}+z^{2}+2 a x y+2 x z+2 y z=4$ 经正交变换化为 $y_{1}^{2}+4 z_{1}^{2}=4$, 则 $a=$
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \mu ; \sigma^{2}, \sigma^{2} ; 0\right)$, 则 $E\left(X Y^{2}\right)=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\ln (1+x)}{x}\right]^{\frac{1}{\mathrm{e}^{x}-1}}$.
设函数 $z=f(x y, y g(x))$, 其中函数 $f$ 具有二阶连续偏导数, 函数 $g(x)$ 可导, 且在 $x=1$ 处取得 极值 $g(1)=1$. 求 $\left.\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}\right|_{\substack{x=1 \\ y=1}}$.
求方程 $k \arctan x-x=0$ 不同实根的个数, 其中 $k$ 为参数.
( I ) 证明: 对任意的正整数 $n$, 都有 $\frac{1}{n+1} < \ln \left(1+\frac{1}{n}\right) < \frac{1}{n}$ 成立;
(II) 设 $a_{n}=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n(n=1,2, \cdots)$, 证明数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛.
已知函数 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数, 且 $f(1, y)=0, f(x, 1)=0, \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=a$, 其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$, 计算二重积分 $I=\iint_{D} x y f_{x y}^{\prime \prime}(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(0,1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(1,3,5)^{\mathrm{T}}$ 不能由向量组 $\boldsymbol{\beta}_{1}=(1,1,1)^{\mathrm{T}}$, $\boldsymbol{\beta}_{2}=(1,2,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{3}=(3,4, a)^{\mathrm{T}}$ 线性表示.
(I) 求 $a$ 的值;
（II ) 将 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 用 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶实对称矩阵, $\boldsymbol{A}$ 的秩为 2 , 且
$$
A\left(\begin{array}{rr}
1 & 1 \\
0 & 0 \\
-1 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}
-1 & 1 \\
0 & 0 \\
1 & 1
\end{array}\right) .
$$
(I) 求 $\boldsymbol{A}$ 的所有特征值与特征向量;
(II) 求矩阵 $\boldsymbol{A}$.
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 的概率分布分别为
且 $P\left\{X^{2}=Y^{2}\right\}=1$.
$(\mathrm{I})$ 求二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布;
(II) 求 $Z=X Y$ 的概率分布;
(III) 求 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}$.
设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自正态总体 $N\left(\mu_{0}, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本, 其中 $\mu_{0}$ 已知, $\sigma^{2}>0$ 末知, $\bar{X}$ 和 $S^{2}$ 分别表示样本均值和样本方差.
(I) 求参数 $\sigma^{2}$ 的最大似然估计 $\widehat{\sigma^{2}}$;
(II) 计算 $E\left(\widehat{\sigma^{2}}\right)$ 和 $D\left(\widehat{\sigma^{2}}\right)$.