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设函数 $z=f(x y, y g(x))$, 其中函数 $f$ 具有二阶连续偏导数, 函数 $g(x)$ 可导, 且在 $x=1$ 处取得 极值 $g(1)=1$. 求 $\left.\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}\right|_{\substack{x=1 \\ y=1}}$.
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