单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)=x-\sin a x$ 与 $g(x)=x^{2} \ln (1-b x)$ 是等价无穷小量, 则
$\text{A.}$ $a=1, b=-\frac{1}{6}$.
$\text{B.}$ $a=1, b=\frac{1}{6}$.
$\text{C.}$ $a=-1, b=-\frac{1}{6}$.
$\text{D.}$ $a=-1, b=\frac{1}{6}$.
如图,正方形 $\{(x, y)|| x|\leqslant 1,| y \mid \leqslant 1 \}$ 被其对角线划分为四个区域 $D_{k}(k=1,2,3,4), I_{k}=\iint_{D_{k}} y \cos x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 则 $\max _{1 \leqslant k \leqslant 4}\left\{I_{k}\right\}=$
$\text{A.}$ $I_{1}$.
$\text{B.}$ $I_{2}$.
$\text{C.}$ $I_{3}$.
$\text{D.}$ $I_{4}$.
设有两个数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$, 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$, 则 ( )
$\text{A.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛时, $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收敛.
$\text{B.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 发散时, $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 发散.
$\text{C.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|b_{n}\right|$ 收敛时, $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2} b_{n}^{2}$ 收敛.
$\text{D.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|b_{n}\right|$ 发散时, $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2} b_{n}^{2}$ 发散.
设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是 3 维向量空间 $\mathbf{R}^{3}$ 的一组基,则由基 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \frac{1}{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}, \frac{1}{3} \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 到基 $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 的过渡矩阵为 (）
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3\end{array}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 3\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{rrr}\frac{1}{2} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{6} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{6} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{6}\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{rrr}\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6}-\end{array}\right)$.
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 2 阶矩阵, $\boldsymbol{A}^{*}, \boldsymbol{B}^{*}$ 分别为 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 的伴随矩阵, 若 $|\boldsymbol{A}|=2,|\boldsymbol{B}|=3$, 则分块矩阵 $\left(\begin{array}{ll}\overline{\boldsymbol{O}} & \dot{\boldsymbol{A}} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$ 的伴随矩阵为 $(\quad)$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{cc}\bar{O} & 3 \boldsymbol{B}^{*} \\ 2 \boldsymbol{A}^{*} & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & 2 \boldsymbol{B}^{*} \\ 3 \boldsymbol{A}^{*} & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & 3 \boldsymbol{A}^{*} \\ 2 \boldsymbol{B}^{*} & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & 2 \boldsymbol{A}^{*} \\ 3 \boldsymbol{B}^{*} & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$.
设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)=0.3 \Phi(x)+0.7 \Phi\left(\frac{x-1}{2}\right)$, 其中 $\Phi(x)$ 为标准正态分布的分 布函数, 则 $E(X)=(\quad)$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 0. 3
$\text{C.}$ 0. 7
$\text{D.}$ 1
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 且 $X$ 服从标准正态分布 $N(0,1), Y$ 的概率分布为 $P\{Y=0\}=$ $P\{Y=1\}=\frac{1}{2}$. 记 $F_{Z}(z)$ 为随机变量 $Z=X Y$ 的分布函数, 则函数 $F_{Z}(z)$ 的间断点个数为 ( )
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数, $z=f(x, x y)$, 则 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=$
若二阶常系数线性齐次微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的通解为 $y=\left(C_{1}+C_{2} x\right) \mathrm{e}^{x}$, 则非齐次方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=x$ 满足条件 $y(0)=2, y^{\prime}(0)=0$ 的解为 $y=$
已知曲线 $L: y=x^{2}(0 \leqslant x \leqslant \sqrt{2})$, 则 $\int_{L} x \mathrm{~d} s=$
设 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1\right\}$, 则 $\iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=$
若 3 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 满足 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}=2$, 其中 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 为 $\boldsymbol{\alpha}$ 的转置, 则矩阵 $\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 的非零特征值为
设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{m}$ 为来自二项分布总体 $B(n, p)$ 的简单随机样本, $\bar{X}$ 和 $S^{2}$ 分别为样本均值和样 本方差, 若 $\bar{X}+k S^{2}$ 为 $n p^{2}$ 的无偏估计量, 则 $k=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求二元函数 $f(x, y)=x^{2}\left(2+y^{2}\right)+y \ln y$ 的极值.
设 $a_{n}$ 为曲线 $y=x^{n}$ 与 $y=x^{n+1}(n=1,2, \cdots)$ 所围成区域的面积, 记 $S_{1}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}, S_{2}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1}$, 求 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的值.
椭球面 $S_{1}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 绕 $x$ 轴旋转而成, 圆锥面 $S_{2}$ 是由过点 $(4,0)$ 且与椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 相切的直线绕 $x$ 轴旋转而成.
(I) 求 $S_{1}$ 及 $S_{2}$ 的方程;
(II) 求 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 之间的立体的体积.
(I) 证明拉格朗日中值定理: 若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续,在 $(a, b)$ 内可导, 则存在 $\xi \in(a, b)$, 使得 $f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a)$.
(II) ) 证明: 若函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续, 在 $(0, \delta)(\delta>0)$ 内可导, 且 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=A$, 则 $f_{+}^{\prime}(0)$ 存 在, 且 $f_{+}^{\prime}(0)=A$.
计算曲面积分 $I=\iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$, 其中 $\Sigma$ 是曲面 $2 x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=4$ 的外侧.
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -2\end{array}\right), \boldsymbol{\xi}_{1}=\left(\begin{array}{r}-1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)$.
( I ) 求满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}_{2}=\boldsymbol{\xi}_{1}, \boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{\xi}_{3}=\boldsymbol{\xi}_{1}$ 的所有向量 $\boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}$;
( II ) 对 ( I ) 中的任意向量 $\boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}$, 证明 $\boldsymbol{\xi}_{1}, \boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}$ 线性无关.
设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=a x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+(a-1) x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$.
(I) 求二次型 $f$ 的矩阵的所有特征值;
(II) 若二次型 $f$ 的规范形为 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$, 求 $a$ 的直.
袋中有 1 个红球、 2 个黑球与 3 个白球. 现有放回地从袋中取两次, 每次取一个球. 以 $X, Y, Z$ 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.
(I) 求 $P\{X=1 \mid Z=0\}$;
(II) 求二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布.
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x)= \begin{cases}\lambda^{2} x \mathrm{e}^{-\lambda x}, & x>0, \\ 0, & \text { 其他, 其中参数 } \lambda(\lambda>0) \text { 末知, } X_{1}, \bar{X}_{2}, \cdots, X_{n} \text { 是来 }\end{cases}$ 自总体 $X$ 的简单随机样本.
( I ) 求参数 $\lambda$ 的矩估计量;
(II) 求参数 $\lambda$ 的最大似然估计量.