单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)$ 是连续函数, $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数, 则 ( )
$\text{A.}$ 当 $f(x)$ 是奇函数时, $F(x)$ 必是偶函数.
$\text{B.}$ 当 $f(x)$ 是偶函数时, $F(x)$ 必是奇函数.
$\text{C.}$ 当 $f(x)$ 是周期函数时, $F(x)$ 必是周期函数.
$\text{D.}$ 当 $f(x)$ 是单调增函数时, $F(x)$ 必是单调增函数.
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos x}{\sqrt{x}}, & x>0, \\ x^{2} g(x), & x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 其中 $g(x)$ 是有界函数, 则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处( )
$\text{A.}$ 极限不存在.
$\text{B.}$ 极限存在,但不连续.
$\text{C.}$ 连续,但不可导.
$\text{D.}$ 可导.
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}, \\ 2-2 x, & \frac{1}{2} < x < 1,\end{array} S(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n \pi x,-\infty < x < +\infty\right.$, 其中 $a_{n}=2 \int_{0}^{1} f(x) \cos n \pi x \mathrm{~d} x,(n=0,1,2, \cdots)$, 则 $S\left(-\frac{5}{2}\right)$ 等于( $)$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ $\frac{3}{4}$.
$\text{D.}$ $-\frac{3}{4}$.
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵, $\boldsymbol{B}$ 是 $n \times m$ 矩阵, 则 $(\quad)$
$\text{A.}$ 当 $m>n$ 时, 必有行列式 $|\boldsymbol{A B}| \neq 0$.
$\text{B.}$ 当 $m>n$ 时, 必有行列式 $|\boldsymbol{A B}|=0$.
$\text{C.}$ 当 $n>m$ 时, 必有行列式 $|\boldsymbol{A B}| \neq 0$.
$\text{D.}$ 当 $n>m$ 时, 必有行列式 $|\boldsymbol{A B}|=0$.
设两个相互独立的随机变量 $X$ 和 $Y$ 分别服从正态分布 $N(0,1)$ 和 $N(1,1)$, 则( )
$\text{A.}$ $P\{X+Y \leqslant 0\}=\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $P\{X+Y \leqslant 1\}=\frac{1}{2}-$
$\text{C.}$ $P\{X-Y \leqslant 0\}=\frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ $P\{X-Y \leqslant 1\}=\frac{1}{2}$.
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x \tan x}\right)=$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_{0}^{x} \sin (x-t)^{2} \mathrm{~d} t=$
$y^{\prime \prime}-4 y=\mathrm{e}^{2 x}$ 的通解为 $y=$
设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的元素全为 1 , 则 $\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 个特征值是
设两两相互独立的三事件 $A, B$ 和 $C$ 满足条件: $A B C=\varnothing, P(A)=P(B)=P(C) < \frac{1}{2}$, 且已知 $P(A \cup B \cup C)=\frac{9}{16}$, 则 $P(A)=$
解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $y=y(x), z=z(x)$ 是由方程 $z=x f(x+y)$ 和 $F(x, y, z)=0$ 所确定的函数, 其中 $f$ 和 $F$ 分别具 有一阶连续导数和一阶连续偏导数, 求 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$.
求 $I=\int_{L}\left[\mathrm{e}^{x} \sin y-b(x+y)\right] \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y-a x\right) \mathrm{d} y$, 其中 $a, b$ 为正的常数, $L$ 为从点 $A(2 a, 0)$ 沿曲 线 $y=\sqrt{2 a x-x^{2}}$ 到点 $O(0,0)$ 的弧.
设函数 $y(x)(x \geqslant 0)$ 二阶可导且 $y^{\prime}(x)>0, y(0)=1$. 过曲线 $y=y(x)$ 上任意一点 $P(x, y)$ 作该 曲线的切线及 $x$ 轴的垂线, 上述两直线与 $x$ 轴所围成的三角形的面积记为 $S_{1}$, 区间 $[0, x]$ 上以 $y=y(x)$ 为曲边的曲边梯形面积记为 $S_{2}$, 并设 $2 S_{1}-S_{2}$ 恒为 1 , 求此曲线 $y=y(x)$ 的方程.
试证: 当 $x>0$ 时, $\left(x^{2}-1\right) \ln x \geqslant(x-1)^{2}$.
为清除井底的污泥, 用缆绳将抓斗放人井底, 抓起污泥后提出井口. 已知井深 $30 \mathrm{~m}$, 抓斗自重 $400 \mathrm{~N}$, 缆绳每米重 $50 \mathrm{~N}$, 抓斗抓起的污泥重 $2000 \mathrm{~N}$, 提升速度为 $3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$, 在提升过程中, 污泥以 $20 \mathrm{~N} / \mathrm{s}$ 的速率从抓斗缝隙中漏掉. 现将抓起污泥的 抓斗提升至井口, 问克服重力需作多少焦耳的功?
(说明: (1) $1 \mathrm{~N} \times 1 \mathrm{~m}=1 \mathrm{~J} ; \mathrm{m}, \mathrm{N}, \mathrm{s}, \mathrm{J}$ 分别表示米, 牛顿, 秒, 焦耳. (2) 抓斗的高度及 位于井口上方的缆绳长度忽略不计. )
设 $S$ 为椭球面 $\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}+z^{2}=1$ 的上半部分, 点 $P(x, y, z) \in S, \pi$ 为 $S$ 在点 $P$ 处的切平面, $\rho(x, y, z)$ 为点 $O(0,0,0)$ 到平面 $\pi$ 的距离,求 $\iint_{S} \frac{z}{\rho(x, y, z)} \mathrm{d} S$.
设 $a_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{n} x \mathrm{~d} x$,
(1) 求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left(a_{n}+a_{n+2}\right)$ 的值;
(2) 试证: 对任意的常数 $\lambda>0$, 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{\lambda}}$ 收敛
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}a & -1 & c \\ 5 & b & 3 \\ 1-c & 0 & -a\end{array}\right)$, 其行列式 $|\boldsymbol{A}|=-1$, 又 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A} \cdot$ 有一个特征值 $\lambda_{0}$, 属于 $\lambda_{0}$ 的一个特征向量为 $\boldsymbol{\alpha}=(-1,-1,1)^{\mathrm{T}}$, 求 $a, b, c$ 和 $\lambda_{0}$ 的值.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m$ 阶实对称矩阵且正定, $\boldsymbol{B}$ 为 $m \times n$ 实矩阵, $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$ 为 $\boldsymbol{B}$ 的转置矩阵, 试证: $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ 为正定矩阵的 充分必要条件是 $\boldsymbol{B}$ 的秩 $r(\boldsymbol{B})=n$.
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立,下表列出了二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布律及关于 $X$ 和关于 $Y$ 的 边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填人表中的空白处.
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{6 x}{\theta^{3}}(\theta-x), & 0 < x < \theta, \\ 0, & \text { 其他 },\end{cases}
$$
$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是取自总体 $X$ 的简单随机样本.
(1) 求 $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}$;
(2) 求 $\hat{\theta}$ 的方差 $D(\hat{\theta})$.