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设函数 $y(x)(x \geqslant 0)$ 二阶可导且 $y^{\prime}(x)>0, y(0)=1$. 过曲线 $y=y(x)$ 上任意一点 $P(x, y)$ 作该 曲线的切线及 $x$ 轴的垂线, 上述两直线与 $x$ 轴所围成的三角形的面积记为 $S_{1}$, 区间 $[0, x]$ 上以 $y=y(x)$ 为曲边的曲边梯形面积记为 $S_{2}$, 并设 $2 S_{1}-S_{2}$ 恒为 1 , 求此曲线 $y=y(x)$ 的方程.
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