题号:1119    题型:解答题    来源:1999年全国硕士研究生招生考试试题
设函数 $y(x)(x \geqslant 0)$ 二阶可导且 $y^{\prime}(x) > 0, y(0)=1$. 过曲线 $y=y(x)$ 上任意一点 $P(x, y)$ 作该 曲线的切线及 $x$ 轴的垂线, 上述两直线与 $x$ 轴所围成的三角形的面积记为 $S_{1}$, 区间 $[0, x]$ 上以 $y=y(x)$ 为曲边的曲边梯形面积记为 $S_{2}$, 并设 $2 S_{1}-S_{2}$ 恒为 1 , 求此曲线 $y=y(x)$ 的方程.
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答案:


如图, 曲线 $y=y(x)$ 上点 $P(x, y)$ 处的切线方程为 $Y-y(x)=y^{\prime}(x)(X-x)$
所以切线与 $x$ 轴的交点为 $\left(x-\frac{y}{y^{\prime}}, 0\right)$
由于 $y^{\prime}(x) > 0, y(0)=1$, 因此 $y(x) > 0(x > 0)$
于是 $\quad S_{1}=\frac{1}{2} y\left|x-\left(x-\frac{y}{y^{\prime}}\right)\right|=\frac{y^{2}}{2 y^{\prime}}$.
$$
\text { 又 } S_{2}=\int_{0}^{x} y(t) d t \text {, }
$$
根据题设 $2 S_{1}-S_{2}=1$, 即 $2 \cdot \frac{y^{2}}{2 y^{\prime}}-\int_{0}^{x} y(t) d t=1$, 两边对 $x$ 求导并化简得 $y y^{\prime \prime}=\left(y^{\prime}\right)^{2}$
这是可降阶得二阶常微分方程, 令 $p=y^{\prime}$, 则 $y^{\prime \prime}=\frac{d p}{d x}=\frac{d p}{d y} \cdot \frac{d y}{d x}=p \frac{d p}{d y}$,
则上述方程可化为 $y p \frac{d p}{d y}=p^{2}$, 分离变量得 $\frac{d p}{p}=\frac{d y}{y}$, 解得 $p=C_{1} y$, 即 $\frac{d y}{d x}=C_{1} y$,
从而有 $y=C_{1} e^{x}+C_{2}$, 根据 $y(0)=1, y^{\prime}(0)=1$, 可得 $C_{1}=1, C_{2}=0$,
故所求曲线得方程为 $y=e^{x}$
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