单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
二元函数 $ f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y}{x^{2}+y^{2}} & (x, y) \neq(0,0) \\ 0 & (x, y)=(0,0)\end{cases} $ 在点 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ 连续, 偏导数存在.
$\text{B.}$ 连续, 偏导数不存在.
$\text{C.}$ 不连续, 偏导数存在.
$\text{D.}$ 不连续, 偏导数不存在.
设在区间 $[a, b]$ 上 $f(x)>0, f^{\prime}(x) < 0, f^{\prime \prime}(x)>0$, 令 $S_{1}=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x, S_{2}=$ $f(b)(b-a), S_{3}=\frac{1}{2}[f(a)+f(b)](b-a)$, 则
$\text{A.}$ $S_{1} < S_{2} < S_{3}$
$\text{B.}$ $S_{2} < S_{1} < S_{3}$
$\text{C.}$ $S_{3} < S_{1} < S_{2}$
$\text{D.}$ $S_{2} < S_{3} < S_{1}$
设 $F(x)=\int_{x}^{x+2 \pi} \mathrm{e}^{\sin t} \sin t \mathrm{~d} t$, 则 $F(x)$
$\text{A.}$ 为正常数
$\text{B.}$ 为负常数
$\text{C.}$ 恒为零
$\text{D.}$ 不为常数
设 $\alpha_{1}=\left[\begin{array}{l}a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3}\end{array}\right], \alpha_{2}=\left[\begin{array}{l}b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3}\end{array}\right], \alpha_{3}=\left[\begin{array}{l}c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3}\end{array}\right]$, 则三条直线
$$
\begin{aligned}
&a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0 \\
&a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0 \\
&a_{3} x+b_{3} y+c_{3}=0
\end{aligned}
$$
(其中 $\left(a_{i}^{2}+b_{i}^{2} \neq 0, i=1,2,3\right)$ 交于一点的充要条件是
$\text{A.}$ $a_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$, 线性相关
$\text{B.}$ $a_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$, 线性无关
$\text{C.}$ 秩 $r\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)=$ 秩 $r\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)$
$\text{D.}$ $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性相关, $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ 线性无关
设两个相互独立的随机变量 $X$ 和 $Y$ 的方差分别为 4 和 2 , 则賁机变量 $3 X-2 Y$ 的 方差是
$\text{A.}$ 8
$\text{B.}$ 16
$\text{C.}$ 28
$\text{D.}$ 44
填空题 （共 17 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 \sin x+x^{2} \cos \frac{1}{x}}{(1+\cos x) \ln (1+x)}=$
设幂级数 $ \sum ^{\infty }_{n=0} a_{n}x^{n} $ 的 收敛半径 为3,则幂级数 $ \sum_{n=1}^{\infty} n a_{n}\left(x-1\right)^{n+1} $ 的 收敛区间 为
对数 螺线 $\rho=\mathrm{e}^{\theta}$ 在点 $ (\rho, \theta)=\left(\mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}, \frac{\pi}{2}\right) $ 处的 切线的 直角坐标方程
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ 4 & t & 3 \\ 3 & -1 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{B}$ 为 3阶非零矩阵， $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$, 则 $t=$
袋中有 50 个乒乓球,其中 20 个是黄 球30是白球. 今有两人依次随机地从 袋中各取一球，取后不放回, 则第 二人 取得黄球的概率是
计算 $I=\iint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} v$, 其中 $\Omega$ 为平面曲线 $\left\{\begin{array}{l}y^{2}=2 z \\ x=0\end{array}\right.$ 绕 $z$ 轴疑转一周形成的曲面与平面 $z=8$ 所围成的区域.
计算曲线积分 $\oint_{c}(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z$, 其中 $c$ 是曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=1 \\ x-y+z=2\end{array}\right.$ 从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看 $c$ 的方向是顺时针的.
在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的. 设该人群的总人数为 $N$, 在 $t=0$ 时刻已掌握新技术的人数为 $x_{0}$,在任意时刻 t 已掌握新技术的人数 $x(t)$ (将 $x(t) $ 视为连续可微变量 ) , 其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比, 比例常数 $k>0$, 求 $x(t)$.
设直线 $l:\left\{\begin{array}{l}x+y+b=0 \\ x+a y-z-3=0\end{array}\right.$ 在平面 $\pi$ 上, 而平面 $\pi$ 与曲面 $z=x^{2}+y^{2}$ 相切 于点 $(1,-2,5)$, 求 $a 、 b$ 之值.
设函数$f(u)$ 具有二阶连续导数，而 $z=f\left(\mathrm{e}^{x} \sin y\right)$ 满足方程 $ \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=e^{2 x} z $ 求 $f(u)$
设 $f(x)$ 连续, $\varphi(x)=\int_{0}^{1} f(x t) \mathrm{d} t$, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=A\left(A\right.$ 为常数), 求 $\varphi^{\prime}(x)$ 并讨论 $\varphi^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性.
设 $a_{1}=2, a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+\frac{1}{a_{n}}\right), \quad(n=1,2, \cdots)$, 证明
(1) $\lim _{x \rightarrow \infty} a_{n}$ 存在;
(2) 纱数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)$ 收敉.
设 $B$ 是秩为 2 的 $5 \times 4$ 矩阵, $\alpha_{1}=[1,1,2,3]^{T}, \alpha_{2}=[-1,1,4,-1]^{T}, \alpha_{3}=[5,-$ $1,-8,9)^{T}$ 是齐次线性方稇组 $B x=0$ 的解向量, 求 $B x=0$ 的解空间的一个标准正交基.
已知 $\xi=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right]$ 是矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 2 \\ 5 & a & 3 \\ -1 & b & -2\end{array}\right]$ 的一个特征向量.
(i) 试确定㣍数 $a, b$ 及特征向量 $\xi$ 所对应的特征值;
(ii) 问$A$ 能否相似于对角阵? 说明理由.
设 $A$ 是 $n$ 阶可逆方阵,将 $A$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 行对拞后得到的矩阵记为 $B$.
(1) 证明 $B$ 可逆;
(2) 求 $A B^{-1}$.
从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗, 假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的, 并 且概率都是 $\frac{2}{5}$. 设 $X$ 为途中遇到红灯的次数,求随机变量 $X$ 的分布律、分布函数和数学期望.
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}(\theta+1) x^{\theta}, & 0 < x < 1, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
其中 $\theta>-1$ 是末知参数, $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的一个容量为 $n$ 的简单随机样本, 分别用矩估 计法和极大似然估计法求 $\theta$ 的估计量.