设 $f(x, y)$ 在 $[0,1] \times[0,1]$ 上为 Lebesgue 可积函数．证明：

$$
\int_0^1\left[\int_0^x f(x, y) \mathrm{d} y\right] \mathrm{d} x=\int_0^1\left[\int_y^1 f(x, y) \mathrm{d} x\right] \mathrm{d} y .
$$

设 $f(x), g(x)$ 为 $E \subset \mathbb{R}^1$ 上非负 Lebesgue 可测函数，$f g \in \mathscr{L}(E)$ ．令

$$
E_y=\{x \in E \mid g(x) \geqslant y\} .
$$


证明：对 $\forall y>0$ ，

$$
F(y)=(\mathrm{L}) \int_{E_y} f(x) \mathrm{d} x
$$


均存在有限，且有
$(\mathrm{L}) \int_0^{+\infty} F(y) \mathrm{d} y=(\mathrm{L}) \int_E f(x) g(x) \mathrm{d} x$.

证明 证法 1 （省＂（L）＂）因为

$$
\begin{aligned}
0 \leqslant F(y) & =\int_{E_y} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{y} \int_{E_y} f(x) \cdot y \mathrm{~d} x \leqslant \frac{1}{y} \int_{E_y} f(x) g(x) \mathrm{d} x \\
& \leqslant \frac{1}{y} \int_E f(x) g(x) \mathrm{d} x < +\infty, \quad y>0
\end{aligned}
$$


所以对 $\forall y>0$ ，

$$
F(y)=\int_{E_y} f(x) \mathrm{d} x
$$


存在有限．
作函数

$$
G(x, y)=f(x) \cdot \chi_{E(g)}(x, y) \geqslant 0
$$


其中 $E(g)=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 0 \leqslant y \leqslant g(x), x \in E\right\}$ 。根据 Tonelli 定理 3．7．1，有

$$
\begin{aligned}
\int_0^{+\infty} F(y) \mathrm{d} y & =\int_0^{+\infty} \mathrm{d} y \int_{E_y} f(x) \mathrm{d} x=\int_{\mathbf{R}^1} \mathrm{~d} y \int_{\mathbf{R}^1} G(x, y) \mathrm{d} x \\
& =\int_{\mathbf{R}^2} G(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{\mathbf{R}^1} \mathrm{~d} x \int_{\mathbf{R}^1} G(x, y) \mathrm{d} y \\
& =\int_E \mathrm{~d} x \int_0^{g(x)} f(x) \mathrm{d} y=\int_E f(x) g(x) \mathrm{d} x
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
&\text { 证法 } 2\\
&\begin{aligned}
\int_0^{+\infty} F(y) \mathrm{d} y & =\int_0^{+\infty}\left(\int_{E_y} f(x) \mathrm{d} x\right) \mathrm{d} y \\
& =\int_0^{+\infty}\left(\int_E f(x) \chi_{E_y}(x) \mathrm{d} x\right) \xlongequal{\text { Tonelli }} \int_E f(x)\left(\int_0^{+\infty} \chi_{E_y}(x) \mathrm{d} y\right) \mathrm{d} x \\
& =\int_E f(x) \int_0^{g(x)} 1 \mathrm{~d} y=\int_E f(x) g(x) \mathrm{d} x
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

设 $A, B$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的 Lebesgue 可测集．证明：

$$
(\mathrm{L}) \int_{\mathrm{R}^n} m((A-x) \cap B) \mathrm{d} x=m(A) \cdot m(B) \text {, }
$$


其中 $A-\boldsymbol{x}^{\prime}=\{a-\boldsymbol{x} \mid a \in A\}$ 为 $A$ 平移－ $\boldsymbol{x}$ 得到的集合．

设 $f:[a, b] \rightarrow[f(a), f(b)]$ 为绝对连续的严格增函数，$g(y)$ 为 $[f(a), f(b)]$ 上的绝对连续函数．证明：$g \circ f(x)=g(f(x))$ 为 $[a, b]$ 上的绝对连续函数．

设 $f$ 为 $[a, b]$ 上的绝对连续函数．证明：$\bigvee_a^x(f), p(x), n(x)$ 都为绝对连续函数．

（Lebesgue 分解定理）设 $f$ 为 $[a, b]$ 上的有界变差函数．证明：$f$ 可分解为

$$
f=f_c+f_s+\varphi,
$$


其中 $\varphi$ 为 $f$ 在 $[a, b]$ 上的跳跃函数，$f_c$ 为 $[a, b]$ 上的绝对连续函数，$f_s$ 为奇异的有界变差函数（当然，$f_c, f_s, \varphi$ 三个函数可以在上述分解中不全出现）。在相差一个常数意义下，三个函数均由 $f$ 惟一决定。