证明题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x, y)$ 在 $[0,1] \times[0,1]$ 上为 Lebesgue 可积函数．证明：
$$
\int_0^1\left[\int_0^x f(x, y) \mathrm{d} y\right] \mathrm{d} x=\int_0^1\left[\int_y^1 f(x, y) \mathrm{d} x\right] \mathrm{d} y .
$$
设 $A, B$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的 Lebesgue 可测集．证明：
$$
(\mathrm{L}) \int_{\mathrm{R}^n} m((A-x) \cap B) \mathrm{d} x=m(A) \cdot m(B) \text {, }
$$
其中 $A-\boldsymbol{x}^{\prime}=\{a-\boldsymbol{x} \mid a \in A\}$ 为 $A$ 平移－ $\boldsymbol{x}$ 得到的集合．
设 $f:[a, b] \rightarrow[f(a), f(b)]$ 为绝对连续的严格增函数，$g(y)$ 为 $[f(a), f(b)]$ 上的绝对连续函数．证明：$g \circ f(x)=g(f(x))$ 为 $[a, b]$ 上的绝对连续函数．
设 $f$ 为 $[a, b]$ 上的绝对连续函数．证明：$\bigvee_a^x(f), p(x), n(x)$ 都为绝对连续函数．
（Lebesgue 分解定理）设 $f$ 为 $[a, b]$ 上的有界变差函数．证明：$f$ 可分解为
$$
f=f_c+f_s+\varphi,
$$
其中 $\varphi$ 为 $f$ 在 $[a, b]$ 上的跳跃函数，$f_c$ 为 $[a, b]$ 上的绝对连续函数，$f_s$ 为奇异的有界变差函数（当然，$f_c, f_s, \varphi$ 三个函数可以在上述分解中不全出现）。在相差一个常数意义下，三个函数均由 $f$ 惟一决定。