设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{rrr}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}(\quad)$ ．

已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶实对称矩阵．现有四个命题：
（1） $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似的充分必要条件是 $|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}|$ ；
（2）二次型 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}$ 与二次型 $g\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{X}$ 有相同规范形的充分必要条件是 $|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}|$ ；
（3）若 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似，则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 必合同；
（4）若 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 合同，则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 必相似．
以上命题正确的是（ ）。

设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}3 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1\end{array}\right]$ ，下列矩阵中哪些与 $\boldsymbol{A}$ 合同？哪些与 $\boldsymbol{A}$ 不合同？
（1） $\mathbf{A}_1=\operatorname{diag}(1,1,1)$ ；
（2） $\boldsymbol{A}_2=\operatorname{diag}(1,1,0)$ ；
（3） $\boldsymbol{A}_3=\operatorname{diag}(-1,-1,0)$ ；
（4） $\boldsymbol{A}_4=\operatorname{diag}(1,-1,0)$ ．

已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶实对称矩阵，证明：若 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似，则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 必合同．

(2001年 3)设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，秩 $(\boldsymbol{A})=n, A_{i j}$ 是 $\boldsymbol{A}=\left[a_{i j}\right]_{n \times n}$ 中元素 $a_{i j}(i, j= 1,2, \cdots, n)$ 的代数余子式，二次型

$$
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{A_{i j}}{|\boldsymbol{A}|} x_i x_j .
$$

（1）记 $\boldsymbol{X}=\left[x_1, x_2, \cdots, x_n\right]^{\mathrm{T}}$ ，把 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 写成矩阵形式，并证明二次型 $f(\boldsymbol{X})$ 的矩阵为 $\boldsymbol{A}^{-1}$ ；
（2）二次型 $g(\boldsymbol{X})=\boldsymbol{X}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}$ 与 $f(\boldsymbol{X})$ 的规范形是否相同？说明理由．