一、解答题 （共 16 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
1. 判断下列二次型是否正定二次型．
2. 试判断下列二次型是否正定二次型．
3. 判断 阶 矩阵 是否正定矩阵，
4. 设二次型
问 取何值时， 为正定二次型。
5. 设 是 阶正定矩阵， 是正数，证明 是正定矩阵。
6. 设 是 阶正定矩阵，试证明 也是正定矩阵。
7. 设 是 阶实对称矩阵，其中 正定，试证明当实数 充分大时， 也正定
8. 设 是正定矩阵，证明 的伴随矩阵 也是正定矩阵。
9. 设 为 阶正定矩阵，试证明 正定的充分必要条件是 ．
10. 设 是实对称矩阵，且 ，则存在正交矩阵 ，使 和 同时为对角矩阵。
11. 设 为 阶实对称矩阵，且 ，证明存在非零向量 ，使得 ．
12. 设 为实对称矩阵，若 ，证明 是半止定矩阵或正定矩阵。
13. 设 是 阶实对称正定矩阵，若 正定，试证明 也正定。
14. 设 是 的实矩阵， ．证明 正定的充分必要条件是 。
15. 设 为 阶实对称正定矩阵，证明存在上三角矩阵 ，使得 ．
16. 设 为 阶实对称正定矩阵， 为任意 维向量，证明 是负定二次型。