【31501】 【 高中数学第一轮复习 直线与圆的方差】 多选题 已知直线 $l: a x+b y-r^2=0$ 与圆 $C: x^2+y^2=r^2$ ，点 $A(a, b)$ ，则下列说法正确的是

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【31500】 【 高中数学第一轮复习 直线与圆的方差】 单选题 若直线 $2 x+y-1=0$ 是圆 $(x-a)^2+y^2=1$ 的一条对称轴，则 $a=$

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【31499】 【 高中数学第一轮复习 直线与圆的方差】 单选题 过点 $(0,-2)$ 与圆 $x^2+y^2-4 x-1=0$ 相切的两条直线的夹角为 $\alpha$ ，则 $\sin \alpha=$

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【31498】 【 杨超冲刺139高分(线性代数)习题选编2024-行列式、矩阵、方程的解】 解答题 设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=a x_1^2+2 x_2^2-2 x_3^2+2 b x_1 x_3(b>0)$ ，其中二次型的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值之和为 1 ，特征值之积为 -12 ． （1）求 $a, b$ 之值； （2）利用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换和对应的正交阵．

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【31497】 【 杨超冲刺139高分(线性代数)习题选编2024-行列式、矩阵、方程的解】 单选题 设 $$ \begin{aligned} & \boldsymbol{A}_1=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right], \boldsymbol{B}_1=\left[\begin{array}{lll} 1 & & \\ & 2 & \\ & & 3 \end{array}\right] ; \\ & \boldsymbol{A}_2=\left[\begin{array}{lll} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right], \boldsymbol{B}_2=\left[\begin{array}{lll} 3 & & \\ & 3 & \\ & & 3 \end{array}\right] ; \\ & \boldsymbol{A}_3=\left[\begin{array}{lll} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \end{array}\right], \boldsymbol{B}_3=\left[\begin{array}{lll} 0 & & \\ & 5 & \\ & & 5 \end{array}\right] . \end{aligned} $$ 则 $\boldsymbol{A}_i$ 与 $\boldsymbol{B}_i(i=1,2,3)$ 相似，关系成立的个数是（ ）．

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【31496】 【 杨超冲刺139高分(线性代数)习题选编2024-行列式、矩阵、方程的解】 解答题 已知齐次线性方程组 $$ (\mathrm{I})\left\{\begin{array} { l } { x _ { 1 } + 2 x _ { 2 } + 3 x _ { 3 } = 0 } \\ { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } + 5 x _ { 3 } = 0 } \\ { x _ { 1 } + x _ { 2 } + a x _ { 3 } = 0 } \end{array} , \text { 和 ( II ) } \left\{\begin{array}{l} x_1+b x_2+c x_3=0 \\ 2 x_1+b^2 x_2+(c+1) x_3=0 \end{array}\right.\right. $$ 同解，求 $a, b, c$ 的值．

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【31495】 【 杨超冲刺139高分(线性代数)习题选编2024-行列式、矩阵、方程的解】 解答题 设有向量组（I） $\boldsymbol{\alpha}_1=[1,0,2]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=[1,1,3]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=[1,-1, a+ 2]^{\mathrm{T}}$ 和向量组（II） $\boldsymbol{\beta}_1=[1,2, a+3]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_2=[2,1, a+6]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_3=[2,1, a+4]^{\mathrm{T}}$ ．试问：当 $a$ 为何值时，向量组（I）与（II）等价？当 $a$ 为何值时，向量组（I）与（II）不等价？

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【31494】 【 杨超冲刺139高分(线性代数)习题选编2024-行列式、矩阵、方程的解】 填空题 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵 $(n>1)$ ，满足 $\boldsymbol{A}^k=2 \boldsymbol{E}, k>2, \boldsymbol{E}$ 是 $n$ 阶单位阵， $\boldsymbol{A}^*$是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，则 $\left(\boldsymbol{A}^*\right)^k=$ $\qquad$ ．

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【31493】 【 杨超冲刺139高分(线性代数)习题选编2024-行列式、矩阵、方程的解】 解答题 设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 是 $n$ 阶方阵， $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ 可逆，验证 $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ 的逆矩阵是 $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}(\boldsymbol{E}+ \boldsymbol{A B})^{-1} \boldsymbol{A}$.

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【31492】 【 杨超冲刺139高分(线性代数)习题选编2024-行列式、矩阵、方程的解】 解答题 若 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{rrrrr}3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -9 & 3\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{A}^n=$

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