【33355】 【 线性变换】 解答题 （北京科技大学，2004 年）设 $\sigma, \tau$ 都是幂等 $\left(\sigma^2=\sigma, \tau^2=\tau\right)$ 的线性变换．证明： （1）如果 $\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{\tau} \boldsymbol{\sigma}$ ，那么 $\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{+} \boldsymbol{\tau}-\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{\tau}$ 也是幂等变换； （2）如果 $\sigma+\tau$ 是幂等变换，那么 $\sigma \tau=0$ ．

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【33354】 【 线性变换】 解答题 设 $\sigma$ 是有理数域 $Q$ 上的 $m$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，且满足 $$ \sigma^4+2 \sigma^3-4 \sigma+6 \varepsilon=0 $$ 其中 $\varepsilon$ 表示 $V$ 的恒同变换．考虑 $\operatorname{End}_{\mathbb{Q}}(V)$ 的子空间 $W=\{f(\sigma) \mid f(x) \in \mathbb{Q}[x]\}$ ，定义 $W$ 的线性变换 $\tau$ 如下：若 $f(\sigma)=a_n \sigma^n+a_{n-1} \sigma^{n-1}+\cdots+a_1 \sigma+a_0 \varepsilon$ ，其中 $a_i \in \mathbb{Q}(i=0,1, \cdots, n)$ ，则 $$ \tau(f(\sigma))=a_0 \sigma^n+a_1 \sigma^{n-1}+\cdots+a_{n-1} \sigma+a_n \varepsilon . $$ （1）证明：$\varepsilon, \sigma, \sigma^2, \sigma^3$ 是 $W$ 中的一个线性无关组； （2）求 $W$ 的维数 $\operatorname{dim} W$ ； （3）求 $\tau$ 在 $W$ 的一个基下的矩阵．

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【33353】 【 线性变换】 解答题 （南京航空航天大学，2003 年）已知 $\mathbb{R}^3$ 的线性变换 $\sigma$ 对于基 $$ \boldsymbol{\varepsilon}_1=(-1,0,2)^{\mathrm{T}}, \quad \boldsymbol{\varepsilon}_2=(0,1,1)^{\mathrm{T}}, \quad \boldsymbol{\varepsilon}_3=(3,-1,-6)^{\mathrm{T}} $$ 的像为 $\sigma\left(\varepsilon_1\right)=(-1,0,1)^{\mathrm{T}}, \sigma\left(\varepsilon_2\right)=(0,-1,2)^{\mathrm{T}}, \sigma\left(\varepsilon_3\right)=(-1,-1,3)^{\mathrm{T}}$ ． （1）求 $\sigma$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的矩阵； （2）设 $x=(1,1,1)^{\mathrm{T}}$ ，求 $\sigma(x)$ ； （3）已知 $\sigma(x)$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的坐标向量为 $(2,-4,-2)^{\mathrm{T}}$ ，求 $\boldsymbol{x}$ ； （4）证明：$\varepsilon_1, \varepsilon_1+\varepsilon_2, \varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3$ 是 $\mathbb{R}^3$ 的基，并求 $\sigma$ 在该基下的矩阵．

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【33352】 【 线性变换】 解答题 （武汉大学，2006 年）设 $P[x]_2$ 表示实数域上的次数不超过 2 的多项式构成的线性空间，已知 $f_1=1-x, f_2=1+x^2, f_3=x+2 x^2$ 是 $P[x]_2$ 的一个基，$P[x]_2$ 的线性变换 $\sigma$ 满足 $$ \sigma\left(f_1\right)=2+x^2, \quad \sigma\left(f_1\right)=x, \quad \sigma\left(f_1\right)=1+x+x^2 . $$ （1）求由基 $1, x, x^2$ 到基 $f_1, f_2, f_3$ 的过渡矩阵； （2）求 $\sigma$ 在基 $f_1, f_2, f_3$ 下的矩阵； （3）设 $f=1+2 x+3 x^2$ ，求 $\sigma(f)$ ．

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【33351】 【 线性变换】 解答题 设 3 维向量空间 $\mathbb{R}^3$ 的线性变换 $\sigma$ 在基 $$ \boldsymbol{\alpha}_1=(1,1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(1,-1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(0,2,-1)^{\mathrm{T}} $$ 下的矩阵是 $$ A=\left(\begin{array}{rrr} 2 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & -1 \\ 1 & -1 & -4 \end{array}\right), $$ 向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 在基 $\boldsymbol{\beta}_1=(1,1,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_2=(1,2,5)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_3=(0,1,-2)^{\mathrm{T}}$ 下的坐标是 $(1,0,-1)^{\mathrm{T}}$ ，求 $\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{\alpha})$在基 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 下的坐标．设 3 维向量空间 $\mathbb{R}^3$ 的线性变换 $\sigma$ 在基 $$ \boldsymbol{\alpha}_1=(1,1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(1,-1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(0,2,-1)^{\mathrm{T}} $$ 下的矩阵是 $$ A=\left(\begin{array}{rrr} 2 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & -1 \\ 1 & -1 & -4 \end{array}\right), $$ 向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 在基 $\boldsymbol{\beta}_1=(1,1,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_2=(1,2,5)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_3=(0,1,-2)^{\mathrm{T}}$ 下的坐标是 $(1,0,-1)^{\mathrm{T}}$ ，求 $\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{\alpha})$在基 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 下的坐标．

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【33350】 【 青岛大学离散数学期末考试题答案及解析】 解答题 某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生中选派一些人出国学习。选派必须满足以下条件： 若赵去，则钱也去； 李、周两人中至少去一人； 钱、孙两人中去且仅去一人； 孙、李两人同去或同不去；

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【33349】 【 青岛大学离散数学期末考试题答案及解析】 证明题 设G是群，a, b ∈ G，证明$(ab)^{-1}$ =$ b^{-1}a^{-1}$。

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【33348】 【 青岛大学离散数学期末考试题答案及解析】 证明题 证明在自然推理系统中，$\{p$ to（ $q$ to $r$ ），$p \wedge q\}$ vdash $r$ 。

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【33347】 【 青岛大学离散数学期末考试题答案及解析】 解答题 求 G 中长度为 2 的通路和回路总数： A=(0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0) 求G中长度为 2 的通路的总数以及回路的总数

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【33346】 【 青岛大学离散数学期末考试题答案及解析】 解答题 设集合 $\mathrm{A}=\{1,2,3,4\}, \mathrm{A}$ 上的关系 $\mathrm{R}=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,4)\}$ ，求 R 的传递闭包 $t(R)$ 。

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