【33365】 【 线性变换】 解答题 （南开大学，2008 年；IMC 试题，2017 年）设 $n$ 阶实方阵 $\boldsymbol{P}$ 满足 $\boldsymbol{P}^T=\boldsymbol{P}^2$ ，试求出 $\boldsymbol{P}$ 的所有可能的特征值．

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【33364】 【 线性变换】 解答题 （武汉大学，2010 年）设三阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的各行元素之和均为 3 ，向量 $\boldsymbol{\alpha}_1=(-1,2,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(0,-1,1)^{\mathrm{T}}$ 是线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的两个解． （1）求 $\boldsymbol{A}$ 的特征值与特征向量； （2）求正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 和对角矩阵 $\boldsymbol{D}$ ，使得 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A Q}=\boldsymbol{D}$ ； （3）求行列式 $\left|\left(\frac{2}{3} \boldsymbol{B}^2\right)^{-1}+\frac{4}{9} \boldsymbol{B}^*+\boldsymbol{B}\right|$ ，其中 $\boldsymbol{B}$ 是 $\boldsymbol{A}-\frac{3}{2} \boldsymbol{E}$ 的相似矩阵， $\boldsymbol{B}^*$ 为 $\boldsymbol{B}$ 的伴随矩阵。

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【33363】 【 线性变换】 解答题 （北京大学，1998年；华南理工大学，2011年）用 $J$ 表示元素全为 1 的 $n$ 阶方阵 $(n \geqslant 2), f(x)=a+b x \in \mathbb{Q}[x]$ ，令 $\boldsymbol{A}=f(\boldsymbol{J})$ ． （1）求 $\boldsymbol{J}$ 的全部特征值和全部特征向量； （2）求 $\boldsymbol{A}$ 的所有特征子空间； （3）问 $\boldsymbol{A}$ 是否可以对角化？如可对角化，则求出一个可逆矩阵 $\boldsymbol{P} \in M_n(\mathbb{Q})$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}$为对角矩阵，并写出这个对角矩阵．

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【33362】 【 线性变换】 解答题 （华东师范大学，2001年）已知 $\boldsymbol{A}_1, \boldsymbol{A}_2, \boldsymbol{A}_3$ 都是非零的 3 阶方阵，且 $\boldsymbol{A}_i^2= \boldsymbol{A}_i(i=1,2,3), \boldsymbol{A}_i \boldsymbol{A}_j=O(i \neq j)$ ．证明： （1） $\boldsymbol{A}_1, \boldsymbol{A}_2, \boldsymbol{A}_3$ 都有且仅有特征值 1 和 0 ； （2） $\boldsymbol{A}_i$ 的属于特征值 1 的特征向量是 $\boldsymbol{A}_j$ 的属于特征值 0 的特征向量 $(i \neq j)$ ； （3）若 $\boldsymbol{X}_1, \boldsymbol{X}_2, \boldsymbol{X}_3$ 分别是 $\boldsymbol{A}_1, \boldsymbol{A}_2, \boldsymbol{A}_3$ 的属于特征值 1 的特征向量，则 $\boldsymbol{X}_1, \boldsymbol{X}_2, \boldsymbol{X}_3$ 线性无关．

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【33361】 【 线性变换】 解答题 （浙江大学，2006 年）设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}3 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 3\end{array}\right), \boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A}^* \boldsymbol{P}$ ，求 $\boldsymbol{B}+2 \boldsymbol{E}$ 的特征值与特征向量，其中 $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵， $\boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵。

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【33360】 【 线性变换】 解答题 （厦门大学，2018年）设 $\varphi_1, \varphi_2, \cdots, \varphi_m$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，满足 $\varphi_i^2=\varphi_i(1 \leqslant i \leqslant m)$ ，且 $\varphi_i \varphi_j=0(i \neq j, 1 \leqslant i, j \leqslant m)$ ．证明： $$ V=\operatorname{Im} \varphi_1 \oplus \operatorname{Im} \varphi_2 \oplus \cdots \oplus \operatorname{Im} \varphi_m \oplus \bigcap_{i=1}^m \operatorname{ker} \varphi_i . $$

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【33359】 【 线性变换】 解答题 （华中科技大学，2004 年；北京邮电大学，2003 年）设 $\sigma, \tau$ 是线性空间 $V$ 的线性变换，且 $\sigma^2=\sigma, \tau^2=\tau$ ．证明： $\operatorname{ker} \sigma=\operatorname{ker} \tau$ 当且仅当 $\sigma \tau=\sigma, \tau \sigma=\tau$ ，其中 $\operatorname{ker} \sigma$ 为 $\sigma$ 的核．

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【33358】 【 线性变换】 解答题 （浙江大学，2016 年；厦门大学，2011 年）设 $V_1, V_2$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的两个子空间， $\operatorname{dim} V_1+\operatorname{dim} V_2=n$ ．证明：存在 $V$ 的线性变换 $\varphi$ ，使得 $\varphi$ 的像 $\operatorname{Im} \varphi=V_1$ ，核 $\operatorname{ker} \varphi=V_2$ ．

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【33357】 【 线性变换】 解答题 设 $\sigma, \tau$ 是数域 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，$\sigma \tau=\tau \sigma$ ，问维数不等式 $$ \operatorname{dim}\left(\sigma^2(V)\right)+\operatorname{dim}\left(\tau^2(V)\right) \geqslant 2 \operatorname{dim}(\sigma \tau(V)) $$ 是否成立？请证明或反证你的结论．

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【33356】 【 线性变换】 解答题 （哈尔滨工业大学，2005 年）设 $V$ 是线性空间 $\mathbb{R}^n$ 的一个真子空间．问下列结论是否正确？为什么？ （1）存在 $\mathbb{R}^n$ 的一个线性变换 $\sigma$ ，使得 $\sigma$ 的值域等于 $V$ ，即 $\sigma\left(\mathbb{R}^n\right)=V$ ； （2）存在 $\mathbb{R}^n$ 的一个线性变换 $\tau$ ，使得 $\tau$ 的核等于 $V$ ，即 $\operatorname{ker} \tau=V$ ．

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