【33375】 【 线性变换】 解答题 设 $\sigma_i(i \in I)$ 是复数域上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一组（有限或无限个）两两可交换的线性变换．证明：所有的 $\sigma_i(i \in I)$ 至少有一个公共的特征向量．

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【33374】 【 线性变换】 解答题 （武汉大学，1999 年；湘潭大学，2011 年）设 $\varphi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的可逆的线性变换，$V$ 的子空间 $W$ 是 $\varphi$－不变子空间，证明：$W$ 也是逆变换 $\varphi^{-1}$ 的不变子空间。

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【33373】 【 线性变换】 解答题 已知线性空间 $V$ 的线性变换 $\sigma$ 在基 $\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \boldsymbol{\eta}_3, \boldsymbol{\eta}_4$ 下的矩阵为 $$ A=\left(\begin{array}{rrrr} 1 & -1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & -2 & -1 \end{array}\right) . $$ 求 $\sigma$ 的包含向量 $\boldsymbol{\eta}_1$ 的最小不变子空间．

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【33372】 【 线性变换】 解答题 （南京大学，2014 年）设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ x & 4 & y \\ -3 & -3 & 5\end{array}\right)$ 有 3 个线性无关的特征向量，且 $\lambda=2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的二重特征值． （1）求 $x, y$ 的值； （2）求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}$ 为对角矩阵．

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【33371】 【 线性变换】 解答题 （南京大学，2002 年）设 3 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\lambda_1=1, \lambda_2=2, \lambda_3=3$ ，对应的特征向量依次为 $$ \xi_1=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \quad \xi_2=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right), \quad \xi_3=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 3 \\ 9 \end{array}\right), $$ 又设向量 $\boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 3\end{array}\right)$ ． （1）将 $\boldsymbol{\beta}$ 用 $\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2, \boldsymbol{\xi}_3$ 线性表示； （2）求 $\boldsymbol{A}^n \boldsymbol{\beta}$（ $n$ 为自然数）．

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【33370】 【 线性变换】 解答题 设 $A, B$ 是 $n$ 阶实方阵，且存在 $n$ 阶复方阵 $\boldsymbol{Q}$ 使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{Q}^{-1} \boldsymbol{B Q}$ ．证明：必存在 $n$ 阶可逆实方阵 $\boldsymbol{P}$ 使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{B P}$ ．

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【33369】 【 线性变换】 解答题 （兰州大学，2009 年）已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 2 \\ 2 & a & 2 \\ 2 & 2 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & b\end{array}\right)$ ．问 $a, b$ 取何值时 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似？并求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$ ．

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【33368】 【 线性变换】 解答题 设 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的每行元素之和都为常数 $a$ ，求证： （1） $\boldsymbol{a}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征值； （2）对于任意正整数 $m, \boldsymbol{A}^m$ 的每行元素之和都为 $a^m$ ； （3）如果 $\boldsymbol{A}$ 可逆，那么 $a \neq 0$ ，且 $\frac{1}{a}$ 是 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的一个特征值．

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【33367】 【 线性变换】 解答题 （南开大学，2006 年）设 $\mathcal{A}$ 为数域 $P$ 上 $n(n \geqslant 3)$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换， $\mathscr{A}$ 的特征多项式为 $$ f(\lambda)=\lambda^n+a_{n-1} \lambda^{n-1}+a_{n-2} \lambda^{n-2}+\cdots+a_1 \lambda_1+a_0 . $$ 试证明：$a_{n-2}=\frac{1}{2}\left((\operatorname{tr} \mathscr{A})^2-\operatorname{tr} \mathscr{A}^2\right)$ ，其中 $\operatorname{tr}$ 表示线性变换的迹．

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【33366】 【 线性变换】 解答题 设 $\boldsymbol{A}$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵，$\lambda_1, \lambda_2 \in K$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的两个不同的特征值， $\boldsymbol{\xi}_1$ ， $\boldsymbol{\xi}_2, \cdots, \boldsymbol{\xi}_r$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的属于 $\lambda_1$ 的线性无关特征向量， $\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \cdots, \boldsymbol{\eta}_s$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的属于 $\lambda_2$ 的线性无关特征向量．任取 $K$ 中不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_r$ 和不全为零的数 $l_1, l_2, \cdots, l_r$ ，令 $\boldsymbol{\gamma}=k_1 \boldsymbol{\xi}_1+k_1 \boldsymbol{\xi}_2+\cdots+ k_r \boldsymbol{\xi}_r+l_1 \boldsymbol{\eta}_1+l_2 \boldsymbol{\eta}_2+\cdots+l_s \boldsymbol{\eta}_s$ ． （1）证明： $\boldsymbol{\gamma} \neq \mathbf{0}$ ； （2）问 $\boldsymbol{\gamma}$ 是否为 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量？请阐述理由．

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