【35055】 【 2010-2011学年北京理工大学《高等数学A》上期末考试试卷与简答】 解答题 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且满足 $f(1)=2 \int_0^{\frac{1}{2}} x e^{1-x} f(x) d x$ ，证明：至少存在一点 $\xi$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=\left(1-\xi^{-1}\right) f(\xi)$

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【35054】 【 2010-2011学年北京理工大学《高等数学A》上期末考试试卷与简答】 解答题 跳伞运动员从高空自飞机上跳下，经若干秒后打开降落伞．开伞后的运动过程中所受的空气阻力为 $k v^2$ ，其中常数 $k>0, v$ 为下落速度，设人与伞的质量共为 $m$ ，且不计空气浮力，试证明：只要打开降落伞后有足够的降落时间才着地，则降落的速度将近似地等于 $\sqrt{\frac{m g}{k}}$ ．

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【35053】 【 2010-2011学年北京理工大学《高等数学A》上期末考试试卷与简答】 解答题 设 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1}, x<0 \\ \frac{1}{2}, x=0 \\ \frac{1-\cos x}{x}, x>0\end{array}\right.$ 讨论 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性和可导性，并求 $f^{\prime}(x)$.

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【35052】 【 2010-2011学年北京理工大学《高等数学A》上期末考试试卷与简答】 解答题 设曲线 $C$ 的方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=(t-1) e^t \\ y=1-t^4\end{array}\right.$ 求 $\frac{d y}{d x}, \frac{d^2 y}{d x^2}$ 及曲线 $C$ 在参数 $t=0$ 对应点处曲率半径

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【35051】 【 2010-2011学年北京理工大学《高等数学A》上期末考试试卷与简答】 解答题 记曲线段 $x^2+y^2=4,(y \geq 0,0 \leq x \leq 1)$ 与直线 $x=0, x=1$ 及 $x$ 轴所围的平面图形为 D， （1） 求平面图形 $D$ 的面积； （2） 求图形 $D$ 分别绕 $x$ 轴，$y$ 轴旋转一周所成旋转体的体积．

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【35050】 【 2010-2011学年北京理工大学《高等数学A》上期末考试试卷与简答】 解答题 求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{\left(e^x-1\right) \ln (1+x)} \int_0^{x^2}(1-\sin 2 t)^{\frac{1}{t}} d t$

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【35049】 【 2010-2011学年北京理工大学《高等数学A》上期末考试试卷与简答】 解答题 求微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=e^{-x}+x$ 的通解．

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【35048】 【 2010-2011学年北京理工大学《高等数学A》上期末考试试卷与简答】 解答题 证明等式 $\int_0^a x^3 f\left(x^2\right) d x=\frac{1}{2} \int_0^{a^2} x f(x) d x$ ，其中 $f(x)$ 连续，$a>0$ ，并计算 $\int_0^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} x^3 \sin \left(x^2\right) d x$ ．

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【35047】 【 2010-2011学年北京理工大学《高等数学A》上期末考试试卷与简答】 解答题 讨论函数 $y=\frac{x^3}{2(x-1)^2}$ 的单调性，凹凸性，并求其极值，曲线的拐点及渐渐近线．并绘制出简图

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【35046】 【 2010-2011学年北京理工大学《高等数学A》上期末考试试卷与简答】 解答题 计算广义积分 $\int_0^1 \frac{d x}{(2-x) \sqrt{1-x}}$ ．

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