【35677】 【 2024-2025长三角工程教育五校联盟高校高等数学A联考试卷】 证明题 设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $f(1)>0, \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x}=-1$ ， 证明：（1）方程 $f(x)=0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少存在一个实根． （2）方程 $f(x) f^{\prime \prime}(x)+\left[f^{\prime}(x)\right]^2=0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少存在两个不同实根．

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【35676】 【 2024-2025长三角工程教育五校联盟高校高等数学A联考试卷】 解答题 求由圆 $(x-3)^2+y^2 \leq 1$ 绕 $y$ 轴旋转一周而得的旋转体的体积。

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【35675】 【 2024-2025长三角工程教育五校联盟高校高等数学A联考试卷】 解答题 设函数 $f(x)=\int_{-x}^{\sin x} \arctan \left(1+t^2\right) d t$ ，求 $f^{\prime}(0)$

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【35674】 【 2024-2025长三角工程教育五校联盟高校高等数学A联考试卷】 解答题 求函数 $f(x)=\frac{4(x+1)}{x^2}-2$ 的单调区间、极值点、凹凸区间和拐点．

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【35673】 【 2024-2025长三角工程教育五校联盟高校高等数学A联考试卷】 解答题 设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\ln \left(1-4 x^2\right)}{x}, & x>0 \\ a x+b, & x \leq 0\end{array}\right.$ 在点 $x=0$ 处可导，求常数 $a, b$ 的值．

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【35672】 【 2024-2025长三角工程教育五校联盟高校高等数学A联考试卷】 解答题 设 $f^{\prime \prime}(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续，且 $f(0)=1, f(2)=3, f^{\prime}(2)=5$ ，求 $\int_0^2 x f^{\prime \prime}(x) d x$

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【35671】 【 2024-2025长三角工程教育五校联盟高校高等数学A联考试卷】 解答题 计算不定积分 $\int \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) d x$

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【35670】 【 2024-2025长三角工程教育五校联盟高校高等数学A联考试卷】 解答题 设 $\left\{\begin{array}{l}x=3 t^2+2 t+3 \\ e^y \sin t-y+1=0\end{array}\right.$ ，计算 $\left.\frac{d y}{d x}\right|_{t=0}$

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【35669】 【 2024-2025长三角工程教育五校联盟高校高等数学A联考试卷】 解答题 求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{\int_0^x \frac{\ln \left(1+t^3\right)}{t} d t}$ ．

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【35668】 【 2024-2025长三角工程教育五校联盟高校高等数学A联考试卷】 解答题 计算极限 $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)\right]^{\frac{1}{n}}$ ．

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