四、解答题 （ 共 7 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设可微函数 $f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处沿 $\boldsymbol{l}_1=(-1,0)$ 与 $\boldsymbol{l}_2=(0,-1)$ 的方向导数分别 为 $2 a x-3 x^2$ 与 $2 a y-3 y^2(a>0)$, 且 $f(0,0)=0$, 若 $f(x, y)$ 有极小值 $-8$, 求 $a$ 的值及 $f(x, y)$ 的表达式.
设 $D=\{(x, y)|| x|+| y \mid \leqslant 1\}, L$ 为 $D$ 的边界, 取逆时针方向, 若 $f(t)$ 连续, $g(t)$ 有一阶连续导数, 计算积分
$$
I=\oint_L\left[f\left(x^2+y^2\right)+g(x+y)\right](x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y) .
$$
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}\right)$ 在正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$ 下的标准形为 $y_2^2+2 y_3^2$, 其中 $\boldsymbol{Q}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & a \\ 0 & b & 0 \\ c & 0 & 1\end{array}\right)(b>0, c>0)$.
(I) 求 $a, b, c$ 的值及矩阵 $\boldsymbol{A}$;
(II) 求一个可逆线性变换, 将二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^*\right) \boldsymbol{x}$ 化为规范形, 其中 $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随 矩阵.
设二维随机变量 $\left(X_1, X_2\right) \sim N(0,0 ; 1,1 ; 0)$. 记 $X=\max \left\{X_1, X_2\right\}, Y=\min \left\{X_1\right.$, $\left.X_2\right\}, Z=X-Y$.
(I) 求 $Z$ 的概率密度 $f_Z(z)$ 和 $E Z$;
(II) 求二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布函数.