一、单选题 （共 4 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
函数 $f(x)=\frac{(x+1)|x-1|}{e^{\frac{1}{x-2}} \ln |x|}$ 的可去间断点的个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设对于任意 $\alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 方程 $x^{\cos ^2 \alpha}=k+x \cos ^2 \alpha(x>0)$ 有两个不同的实根, 则 $k$ 的取值范围 是
$\text{A.}$ $\left[0, \sin ^2 \alpha\right)$.
$\text{B.}$ $\left(0, \sin ^2 \alpha\right)$.
$\text{C.}$ $\left[0, \cos ^2 \alpha\right)$.
$\text{D.}$ $\left(0, \cos ^2 \alpha\right)$.
函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1+x^2 & x \leq 0 \\ x-2 & x>0\end{array}\right.$ 是
$\text{A.}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 单调增加函数
$\text{B.}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 单调减少函数
$\text{C.}$ 在 $(-\infty, 0)$ 单增 $(0,+\infty)$ 单减函数
$\text{D.}$ 在 $(-\infty, 0)$ 单减 $(0,+\infty)$ 单增函数
下列有关定义在 $(-\infty,+\infty)$ 上的可导函数 $f(x)$ 的说法正确的是
$\text{A.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$, 并且 $\exists x_0 \in(0,+\infty)$, 使得 $f\left(x_0\right)>A, \exists x_1 \in(0,+\infty)$ 并且 $x_0 \neq x_1$, 使得 $f\left(x_1\right) < A$, 那么 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内有最大值和最小值。
$\text{B.}$ 若 $f(x)$ 是奇函数, 并且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=A(\neq 0)$, 则 $f(x)$ 的斜渐近线条数一定是偶数。
$\text{C.}$ 若 $f^{\prime}(x)=f(x)+\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$ 并且 $f(0)=1$, 则 $f^{\prime \prime}(0)=2$
$\text{D.}$ 令 $g(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}, x \neq x_0 \\ f^{\prime}\left(x_0\right), x=x_0\end{array}\right.$, 其中 $x_0 \in(-\infty,+\infty)$, 则 $g^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在
二、填空题 （共 4 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
已知常数 $a>0, b c \neq 0$, 使得 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[x^a \ln \left(1+\frac{b}{x}\right)-x\right]=c$, 求 $a, b, c$.
函数 $f(x)=\frac{\sqrt{1+2 x}-1}{x(x+1)(x-2)}$ 的无穷间断点为 ________ , $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=$
函数 $f(x)=\frac{x}{\tan x}, x=k \pi$ 和 $x=k \pi+\frac{\pi}{2} \quad$ ( $k$ 是整数 $)$ 是间断点, 其中无穷间 断点是 ________
若 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $\cos x-\frac{c+9 x^2}{c+4 x^2}$ 是 $x^2$ 的高阶无穷小，则 $c=$
三、解答题 （ 共 7 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设函数 $f(x)= \begin{cases}x^a \sin \frac{1}{x}, & x>0, \\ b, & x=0, \\ \frac{1-\cos x}{(-x)^{a-2}}, & x < 0\end{cases}$ 有连续的导函数, 求 a 的取值范围.
设 $f_n(x)=x n^{-x}(n=1,2, \cdots)$. 问 $\left\{f_n(x)\right\}$ 在 $[0,+\infty)$ 是否一致收敛.
设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 连续可微, $\left|f^{\prime}(x)\right| \leq 1(x \geq 1)$. 求证 $\frac{f(x)}{x}$ 在 $[1,+\infty)$ 一致连续.
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有连续的导函数且 $f(a)=0$ ，证明:
$$
\int_a^b\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leq \frac{b-a}{2} \int_a^b\left[f^{\prime}(x)\right]^2 \mathrm{~d} x .
$$
设 $f(x)=g(x)(\sqrt{x}-1)$, 其中 $g(x)$ 在点 $x=1$ 处连续且 $g(1)=2$, 求 $f^{\prime}(1)$.
求函数 $f(x)=x^4-4 x^3$ 的单调区间和极值.
设 $p$ 是某正整数， $I_n=\frac{1^p+2^p+\cdots+n^p}{n^p}-\frac{n}{p+1}$ ，试求 $\lim _{n \rightarrow \infty} I_n$.