一、单选题 （共 6 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 的逆矩阵为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
设 $A$ 是 $n$ 阶非零矩阵，满足 $A=A^2$ ，若 $A \neq E$ ，则
$\text{A.}$ $|A|=0$
$\text{B.}$ $|A|=1$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}$ 可逆
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A}$ 满秩
设 $m, n$ 均为正整数, 并且 $m < n$, 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times m$ 的矩阵, $\boldsymbol{B}$ 为 $m \times n$ 的矩阵, $\boldsymbol{C}$ 为 $n \times m$ 的矩阵, 已知 $\boldsymbol{A B C}=\boldsymbol{E}$, 设 $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵, 则下列说法正确的个数有 ( ) 个
(1). $\boldsymbol{B C A}=\boldsymbol{E}$
(2). $C A B=E$
(3). $C^* B^* A^*=E$
(4). $\boldsymbol{A}^T \boldsymbol{C}^T \boldsymbol{B}^T=\boldsymbol{E}$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
向量组 $\alpha_1=[1,2,-1,1], \alpha_2=[2,0, t, 0], \alpha_3=[-1,2,-4,1]$ 的秩为 2 , 则 $t$ 为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 0
如果 $[1,0,1]^T,[1,2,3]^T$ 是非齐次线性方程组的两个解, 则下面哪个也 是方程组的解?
$\text{A.}$ $[2,2,4]^T$
$\text{B.}$ $[0,2,2]^T$
$\text{C.}$ $[1,-2,-1]^T$
$\text{D.}$ $[2,0,2]^T$
$A, B$ 分别是 $m$ 阶和 $n$ 阶方阵, 则 $\left[\begin{array}{ll}O & A \\ B & O\end{array}\right]$ 的伴随矩阵是
$\text{A.}$ $\left[\begin{array}{cc}O & |B| B^* \\ |A| A^* & O\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $(-1)^{m n}\left[\begin{array}{cc}O & |A| B^* \\ |B| A^* & O\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $(-1)^{m n}|A||B|\left[\begin{array}{cc}O & B^{-1} \\ A^{-1} & O\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $(-1)^{m n}|A||B|\left[\begin{array}{cc}O & B^* \\ A^* & O\end{array}\right]$
二、填空题 （共 4 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
含参数 $a, b, c, d$ 的方程组如下
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2=a \\
x_2+x_3=b \\
x_3+x_4=c \\
x_4+x_1=d
\end{array},\right.
$$
当参数满足什么条件时, 该方程组有解.
设 $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3\end{array}\right) ， A$ 为 $4 \times 3$ 矩阵，且 $R(A)=2$ ，则 $R(A B)=$
$\alpha=[0,-1,2]^T, \beta=[0,-1,1]^T, A=\alpha \beta^T$, 则 $A^4=$
行列式 $\left|\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 3 & 9 & 27 \\ 1 & 4 & 16 & 63\end{array}\right|=$
三、解答题 （ 共 5 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{cc}a & 3 \\ 1 & b \\ 2 & -1\end{array}\right)$.
(1) $a, b$ 取何值时,矩阵方程 $\boldsymbol{A X}=\boldsymbol{B}$ 有解;
(2) 求 $\boldsymbol{X}$.
设 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 满足条件: $\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{A B}$.
(1) 证明: $\mathbf{A}-\mathbf{E}$ 是可逆矩阵, 其中 $\mathbf{E}$ 是 $n$ 阶单位.
(2) 已知矩阵 $\mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -3 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$, 求矩阵 $\mathbf{A}$.
设矩阵 $A$ 满足 $2 A^{-1} B=2 B+E$ ，
$$
B=\left(\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2} & 0 \\
\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & -\frac{3}{2}
\end{array}\right),
$$
试求出 $A-E$ 的第 2 行的元素.
求矩阵 $X$ 满足方程 $\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 3 & 4\end{array}\right] X\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & -1 \\ 4 & 0 & -1\end{array}\right]$
$A$ 是 $n$ 阶方阵, 证明存在可逆矩阵 $P$ 和上三角矩阵 $U$, 使得 $A=P U$ 。