单选题 （共 11 题 ），每题只有一个选项正确
若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=a$ ，且 $a \neq 0$ ，则当 $n$ 充分大时有
$\text{A.}$ $\left|a_n\right|>\frac{|a|}{2}$ ．
$\text{B.}$ $\left|a_n\right| < \frac{|a|}{2}$ ．
$\text{C.}$ $a_n>a-\frac{1}{n}$ ．
$\text{D.}$ $a_n < a+\frac{1}{n}$ ．
设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{2 n}(x-1)^{2 n}$ 在 $x=5$ 处条件收敛，则 $\sum_{n=0}^{\infty} n a_{2 n}^2(x-3)^{4 n+1}$ 的收敛区间为（ ）
$\text{A.}$ $(1,5)$
$\text{B.}$ $(-1,7)$
$\text{C.}$ $(-5,11)$
$\text{D.}$ $(-13,19)$
下列反常积分发散的是（ ）
$\text{A.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{1+x}} d x$
$\text{B.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{\sin ^2 x}{x^{\frac{3}{2}} \ln (1+x)} d x$
$\text{C.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{\arctan x^2}{x^2 \ln x} d x$
$\text{D.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{\left( e ^{-x}-1\right) \ln (1+\sqrt{x})}{x^2} d x$
设二元函数 $ f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}(x+y)^2 \sin \frac{1}{x+y}, & x+y \neq 0, \\ 0, & x+y=0,\end{array}\right.$ 则下列说法中，错误的是（ ）
$\text{A.}$ $f(x, y)$ 连续．
$\text{B.}$ 当 $x+y=0$ 时，$f_x^{\prime}(x, y)=0$ ．
$\text{C.}$ $f_x^{\prime}(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不连续．
$\text{D.}$ $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不可微．
设3维列向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 与 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 满足 $\boldsymbol{\beta}_1=t \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}_2=(t-1) \boldsymbol{\alpha}_1+t \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_3= (t-1) \boldsymbol{\alpha}_2+t \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵，则 $t \neq 0$ 是 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 为方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系的
$\text{A.}$ 充分不必要条件．
$\text{B.}$ 必要不充分条件．
$\text{C.}$ 充分必要条件．
$\text{D.}$ 既不是充分条件，也不是必要条件．
方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=1+e^x \cos 2 x$ ，则其特解形式为
$\text{A.}$ $y=b+e^x A \cos 2 x$ ．
$\text{B.}$ $y=b+e^x\left(\left(a_0 x+a_1\right) \cos 2 x+\left(c_0 x+c_1\right) \sin 2 x\right)$ ．
$\text{C.}$ $y=b+x e^x(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$ ．
$\text{D.}$ $y=b+e^x(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$ ．
设函数 $f(x, y)$ 在区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq y \leq 1\}$ 上连续，且 $f(x, y)=f(y, x)$ ，则 $\iint_D f(x, y) d x d y=(\quad)$
$\text{A.}$ $2 \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=n+1-1}^n f\left(\frac{i}{n}, \frac{j}{n}\right) \frac{1}{n^2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2} \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n f\left(\frac{i}{n}, \frac{j}{n}\right) \frac{1}{n^2}$
$\text{C.}$ $2 \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{2 n} \sum_{j=1}^{2 n+1-i} f\left(\frac{i}{2 n}, \frac{j}{2 n}\right) \frac{1}{n^2}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} \lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{i=1}^{2 n} \sum_{j=1}^L f\left(\frac{i}{2 n}, \frac{j}{2 n}\right) \frac{1}{n^2}$
下列二次型中，正定二次型是
$\text{A.}$ $f\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)=\left(x_1-x_2\right)^2+\left(x_2-x_3\right)^2+\left(x_3-x_4\right)^2+\left(x_4-x_1\right)^2$
$\text{B.}$ $f\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)=\left(x_1-x_2\right)^2+\left(x_2+x_3\right)^2+\left(x_3+x_4\right)^2+\left(x_4+x_1\right)^2$
$\text{C.}$ $f\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)=\left(x_1-x_2\right)^2+\left(x_2+x_3\right)^2+\left(x_3-x_4\right)^2+\left(x_4+x_1\right)^2$
$\text{D.}$ $f\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)=\left(x_1+x_2\right)^2+\left(x_2+x_3\right)^2+\left(x_3+x_4\right)^2+\left(x_4+x_1\right)^2$
设有直线 $l_1: \frac{x-1}{1}=\frac{y+5}{2}=\frac{z+2}{1}$ 与 $l_2:\left\{\begin{array}{l}x+y+3 z=2 \\ y+z=3\end{array}\right.$ ，则 $l_1$ 与 $l_2$ 的夹角为 ．
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$ ；
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{3}$ ；
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{4}$ ；
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{6}$ ．
设 $f(x)=\left|x-\frac{1}{2}\right|, b_n=2 \int_0^1 f(x) \sin n \pi x \mathrm{~d} x$ ， $(n=1,2, \cdots)$ ，令 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n \pi x$ ，则 $S\left(-\frac{9}{4}\right)=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ $-\frac{3}{4}$
已知 $f(x)$ 是以 2 为周期的偶函数，当 $x \in[0,1]$ 时，$f^{\prime}(x)=\arcsin \sqrt{2 x-x^2}, f(0)=0$ ，则 $f(x)$ 在 $[-1,5]$ 上的平均值为 () ．
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{16}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{8}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{12}$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
函数 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x}{1-x}\right)^n$ 在 $x=\frac{1}{4}$ 处的幂级数展开式为
曲线 $x^2+x y+y^2=3$ 在点 $(1,1)$ 处的曲率半径 $R$ 为
两根均匀细杆 $A B, C D$ 在一条水平线上，已知细杆 $A B$ 长 3 m ，线密度 $\rho_1=4 kg / m ; C D$ 长 6 m ，线密度 $\rho_2=2 kg / m$ ，两根细杆相邻两端点 $B, C$ 距离为 4 m ．有一单位质点位于 $B, C$ 之间，则质点距离端点 $B$ 为 $\qquad$ m ，可使得两根细杆对质点的引力相等．
向量场 $u (x, y, z)=x y^2 i +y z^2 j +z x^2 k$ 在点 $M(1,1,1)$ 处的旋度 rot $u =$ $\qquad$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=\frac{1}{(2-x)^2}-\int_0^1 f(x) d x$ ，将 $f(x)$ 展开成 $x$ 的幂级数．
在椭球面 $2 x^2+2 y^2+z^2=1$ 上求一点，使函数 $f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2$ 在该点沿方向 $l=(1$ ， $-1,0)$ 的方向导数最大，并求出这个最大值．
证明：当 $0 < x \leqslant 1$ 时， $0 < \frac{1}{\arcsin x}-\frac{\sqrt{1-x^2}}{x} \leqslant \frac{2}{\pi}$ ．
设区域 $D$ 由曲线 $x^3+y^3-6 x y=0(x \geqslant 0, y \geqslant 0)$ 围成．
（I）求 $D$ 的面积；
（II）若 $D$ 的形心的横坐标 $\bar{x}=a$ ，求 $\int_0^{+\infty} \frac{t^4}{\left(1+t^3\right)^3} \mathrm{~d} t$ ，结果用 $a$ 表示．
设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上非负可导，$f(0)=2, f(1)=0$ ，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=1$ ．
（I）证明存在 $c \in(0,+\infty)$ ，有 $f(c)=2$ ；
（II）证明存在 $\xi \in(0,+\infty)$ ，有 $f^{\prime}(\xi)+f^2(\xi)=4$ ．
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 0 \\ a & 2 & b \\ 0 & b & 1\end{array}\right)$ ，且 $\alpha =(-1,1,1)^{ T }$ 是矩阵 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的一个特征向量．
（I）求 $a, b$ ；
（II）求正交变换 $x = Q y$ 将二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)= x ^{ T } A x$ 化为标准形；
（III）求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解．