单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
下列函数中，在 $x=0$ 处不可导的是
$\text{A.}$ $f(x)=|x| \sin |x|$ ．
$\text{B.}$ $f(x)=|x| \sin \sqrt{|x|}$ ．
$\text{C.}$ $f(x)=\cos |x|$ ．
$\text{D.}$ $f(x)=\cos \sqrt{|x|}$ ．
曲线 $x^3+y^3-x y=7$ 在点 $(1,2)$ 处的切线方程为
$\text{A.}$ $x+11 y-23=0$
$\text{B.}$ $x+y-23=0$
$\text{C.}$ $x+11 y-13=0$
$\text{D.}$ $x+11 y-21=0$
.函数 $f(x)=\ln |(x-1)(x-2)(x-3)|$ 的驻点个数为
$\text{A.}$ 0 .
$\text{B.}$ 1 .
$\text{C.}$ 2 .
$\text{D.}$ 3 .
设曲线 $y=x \sin x+2 \cos x\left(-\frac{\pi}{2} < x < 2 \pi\right)$ 的拐点为（ ）。
$\text{A.}$ $(0,2)$
$\text{B.}$ $(\pi,-2)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\frac{3 \pi}{2},-\frac{3 \pi}{2}\right)$
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & x \leqslant 0, \\ \frac{1}{n}, & \frac{1}{n+1} < x \leqslant \frac{1}{n}, n=1,2, \cdots\end{array}\right.$ 则
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点．
$\text{B.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点．
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续但不可导．
$\text{D.}$ $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导．
设 $f(x)=(x-1)^{10} \sin x$ ，则 $f^{(11)}(1)=$
$\text{A.}$ $10!\cdot \cos 1$ ．
$\text{B.}$ $11!\cdot \cos 1$.
$\text{C.}$ $10!\cdot \sin 1$.
$\text{D.}$ $11!\cdot \sin 1$ ．
设 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{a}}=1$ ，则函数 $f(x)$ 在点 $x=a$
$\text{A.}$ 不连续．
$\text{B.}$ 连续但不可导 ．
$\text{C.}$ 一定可导 ．
$\text{D.}$ 是否可导与 $a$ 的取值有关 ．
设函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处可导，则函数 $|f(x)|$ 在点 $x=a$ 处不可导的充分条件是
$\text{A.}$ $f(a)=0$ 且 $f^{\prime}(a)=0$ ．
$\text{B.}$ $f(a)=0$ 且 $f^{\prime}(a) \neq 0$ ．
$\text{C.}$ $f(a)>0$ 且 $f^{\prime}(a)>0$ ．
$\text{D.}$ $f(a) < 0$ 且 $f^{\prime}(a) < 0$ ．
曲线 $y=\mathrm{e}^{\frac{1}{x^2}} \arctan \frac{x^2+x+1}{(x-1)(x+2)}$ 的渐近线有
$\text{A.}$ 1 条．
$\text{B.}$ 2 条．
$\text{C.}$ 3 条．
$\text{D.}$ 4 条．
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，其导函数的图形如图所示, 则
$\text{A.}$ 函数 $f(x)$ 有 2 个极值点，曲线 $y=f(x)$ 有 2 个拐点
$\text{B.}$ 函数 $f(x)$ 有 2 个极值点，曲线 $y=f(x)$ 有 3 个拐点
$\text{C.}$ 函数 $f(x)$ 有 3 个极值点，曲线 $y=f(x)$ 有 1 个拐点
$\text{D.}$ 函数 $f(x)$ 有 3 个极值点，曲线 $y=f(x)$ 有 2 个拐点
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设方程 $x=y^y$ 确定 $y$ 是 $x$ 的函数，则 $\mathrm{d} y=$
已知平面曲线的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t)\end{array}\right.$ ，则该曲线在 $t=\frac{\pi}{2}$ 处的切线方程为
设函数 $f(x)=x^3+2 x-4, g(x)=f(f(x))$ ，则 $g^{\prime}(0)=$
函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 是可导的偶函数，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(3-x)-f(3)}{2 x}=1$ ，则 $y=f(x)$ 在点（ $-3, f(-3)$ ）处的切线斜率为
曲线 $f(x)=(2 x-1) e^{\frac{1}{x}}$ 的斜渐近线是
函数 $f(x)=x^2 \ln (1+x)$ 在 $x=0$ 处的 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(0)(n \geqslant 3)=$
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}a^x+b & x \leq 0 \\ \sin a x & x>0\end{array}\right.$ ，问 $a, b$ 为何值时，$f(x)$ 可导，并求其导函数。
设 $y=y(x)$ 是由 $2 y^3-2 y^2+2 x y-x^2=1$ 所确定，求 $y=y(x)$的驻点，并判断它是否是极值点．
求函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{e}^x-1}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}\right.$ 在 $[0,1]$ 区间的最小值和最大值．
设 $f^{\prime \prime}(x) < 0, f(0)=0$ ，证明对任何 $x_1>0, x_2>0$ 有 $f\left(x_1+x_2\right) < f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)$
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导，$f^{\prime}(a) f^{\prime}(b) < 0$ ．证明：存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ ．
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $f(1)>0, \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x}=-1$ ，
证明：（1）方程 $f(x)=0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少存在一个实根．
（2）方程 $f(x) f^{\prime \prime}(x)+\left[f^{\prime}(x)\right]^2=0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少存在两个不同实根．