已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & x \leqslant 0, \\ \frac{1}{n}, & \frac{1}{n+1} < x \leqslant \frac{1}{n}, n=1,2, \cdots\end{array}\right.$ 则
A. $x=0$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点．
B. $x=0$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点．
C. $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续但不可导．
D. $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导．