单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
已知当 $x \rightarrow 0$ 时，$a x^2+b x+\arcsin x$ 与 $\sqrt[3]{1+x^2}-1$ 是等价无穷小，则
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{3}, b=-1$
$\text{B.}$ $a=\frac{1}{3}, b=1$
$\text{C.}$ $a=\frac{2}{3}, b=-1$
$\text{D.}$ $a=\frac{2}{3}, b=1$
曲线 $y=\frac{1+e^{-x^2}}{1-e^{-x^2}}$
$\text{A.}$ 没有渐近线；
$\text{B.}$ 仅有水平渐近线；
$\text{C.}$ 仅有铅直渐近线；
$\text{D.}$ 既有水平渐近线又有铅直渐近线．
如果对微分方程 $y^{\prime \prime}-2 a y^{\prime}+(a+2) y=0$ 的任一解 $y(x)$, 反常积分 $\int_0^{+\infty} y(x) d x$ 均收敛, 那么 $a$ 的取值范围是( )
$\text{A.}$ $(-2,-1]$
$\text{B.}$ $(-\infty,-1]$
$\text{C.}$ $(-2,0)$
$\text{D.}$ $(-\infty, 0)$
已知函数 $f(x)=\int_1^{x^3} \frac{e^t}{1+t^2} d t, f$ 的反函数 $g$ ，则 ()
$\text{A.}$ $g(0)=1, g^{\prime}(0)=\frac{3}{2} e$
$\text{B.}$ $g(0)=1, g^{\prime}(0)=\frac{2}{3 e}$
$\text{C.}$ $g(1)=1, g^{\prime}(1)=\frac{3}{2} e$
$\text{D.}$ $g(1)=1, g^{\prime}(1)=\frac{2}{3 e}$
设函数 $f(x, y)$ 连续, 则 $\int_{-2}^2 d x \int_{4-x^2}^4 f(x, y) d y=$
$\text{A.}$ $\int_0^4\left[\int_{-2}^{-\sqrt{4-y}} f(x, y) d x+\int_{\sqrt{4-y}}^2 f(x, y) d x\right] d y$
$\text{B.}$ $\int_0^4\left[\int_{-2}^{\sqrt{4 y}} f(x, y) d x+\int_{\sqrt{4-y}}^2 f(x, y) d x\right] d y$
$\text{C.}$ $\int_0^4\left[\int_{-2}^{-\sqrt{4-y}} f(x, y) d x+\int_2^{\sqrt{4-y}} f(x, y) d x\right] d y$
$\text{D.}$ $2 \int_0^4 d y\left[\int_{\sqrt{4-y}}^2 f(x, y)\right] d x$
设单位质点 $P, Q$ 分别位于点 $(0,0)$ 和 $(0,1)$ 处, $P$ 从点 $(0,0)$ 出发沿 $x$ 轴正向移动, 记 $G$ 为引力常量,则当质点 $P$ 移动到点 $(l, 0)$ 时, 克服质点 $Q$ 的引力所做的功为
$\text{A.}$ $\int_0^l \frac{G}{x^2+1} d x$
$\text{B.}$ $\int_0^l \frac{G x}{\left(x^2+1\right)^{\frac{3}{2}}} d x$
$\text{C.}$ $\int_0^l \frac{G}{\left(x^2+1\right)^{\frac{3}{2}}} d x$
$\text{D.}$ $\int_0^l \frac{G(x+1)}{\left(x^2+1\right)^{\frac{3}{2}}} d x$
曲线 $y=\arcsin 2 \sqrt{x-x^2}$ 与 $x$ 轴所围图形绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积为（ ）．
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{B.}$ $\pi$
$\text{C.}$ $\frac{3}{2} \pi$
$\text{D.}$ $2 \pi$
下列函数在 $x=0$ 处不可导的是（ ）．
$\text{A.}$ $f(x)= \begin{cases}\int_0^x \frac{|\ln \cos 2 t|}{t} d t, & x \neq 0, \\ 0, & x=0\end{cases}$
$\text{B.}$ $f(x)=\sqrt{\left|x^3-x^4\right|}$
$\text{C.}$ $f(x)=1-\sqrt{\cos x}$
$\text{D.}$ $f(x)=\frac{1-2^{\frac{1}{x}}}{1+2^{\frac{1}{x}}} \cdot \sin 2 x$
曲线 $y=x(x-1)(2-x)$ 与 $x$ 轴所围成图形面积可表示为
$\text{A.}$ $-\int_0^2 x(x-1)(2-x) d x$ ；
$\text{B.}$ $\int_0^2 x(x-1)(2-x) d x$ ；
$\text{C.}$ $-\int_0^1 x(x-1)(2-x) d x+\int_1^2 x(x-1)(2-x) d x$ ；
$\text{D.}$ $\int_0^1 x(x-1)(2-x) d x-\int_1^2 x(x-1)(2-x) d x$ ；
在下列微分方程中，以 $y=\left(c_1+x\right) \mathrm{e}^{-x}+c_2 \mathrm{e}^{2 x}$（ $c_1, c_2$ 是任意常数）为通解的是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=5 \mathrm{e}^{-x}$ ．
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 \mathrm{e}^{-x}$ ．
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=-5 \mathrm{e}^{-x}$ ．
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=-3 \mathrm{e}^{-x}$ ．
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设向量 $\overrightarrow{v_1}=(0, x, z), \overrightarrow{v_2}=(y, 0,1)$ ，令 $\vec{F}(x, y, z)=\overrightarrow{v_1} \times \overrightarrow{v_2}$ ，则 $\operatorname{div} \vec{F}=$
设 $f(x)=x \int_x^\pi\left(\frac{\sin t}{t}\right)^2 d t$ ，则 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的平均值为 $\qquad$ ．
微分方程 $(2 y-3 x) d x+(2 x-5 y) d y=0$ 满足条件 $y(1)=1$ 的解为
设 $f(x)$ 为偶函数，且 $f^{\prime}(x)-\int_0^x f(t-x) \mathrm{d} t=2 \sin x$ ，则 $f(x)=$
级数 $\left(\sum_{n=1}^{\infty} x^n\right)^3$ 中 $x^{20}$ 的系数为
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：$\left\{\begin{array}{l}a_{n+1}+2 a_n=3 n+4 \\ a_0=1,\end{array}\right.$ 则 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{3 n+1}{a_n}=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算不定积分 $\int \frac{\mathrm{d} x}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+x\right)}$ ．
求 $f(x, y)=\left(2 x^2-y^2\right) e^x$ 的极值．
设 $y=y(x)$ 满足 $x^2 y^{\prime}+\left(x^2-3\right) y^2=0$ 且 $y(1)=1$ ．
（1）求 $y=y(x)$ 的表达式；
（2）计算 $\int_0^3 y^2(x) \mathrm{d} x$ ．
设平面区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\}$ ，计算二重积分 $\iint_D \frac{y}{\left(1+x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}} d x d y$
已知 $M\left(x_0, y_0\right)$ 是曲线 $y=\frac{1}{1+x^2}(x \geq 0)$ 的拐点，$O$ 为坐标原点，记 $D$ 是第一象限中以曲线 $y=\frac{1}{1+x^2}\left(x \geq x_0\right)$ ，线段 $O M$ 及 $x$ 正半轴为边界的无界区域，求 $D$ 绕 $x$ 轴疋转所成族转体的体积。
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ a & 0 & 3\end{array}\right)$ 与 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}1 & b & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ 相似，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}+(b,-b, 2 b)^{\mathrm{T}}$ 的一个解为 $(0,-1,1)^{\mathrm{T}}$ ，求
（1）$a, b$ 的值；
（2） $\boldsymbol{A}^{100}$ ．