单选题 （共 16 题 ），每题只有一个选项正确
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ ，则 $A ^{-1}$ 等于
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3}\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
选择题：设 $A \in M_{m, n}$ ，且 $m < n$ ．则
$\text{A.}$ $\left|A A^{ T }\right|=0$
$\text{B.}$ $\left|A A^{ T }\right| \neq 0$
$\text{C.}$ $\left|A^{ T } A\right|=0$
$\text{D.}$ $\left|A^{ T } A\right| \neq 0$
已知 $\boldsymbol{n}$ 阶行列式 $|A|=2, m$ 阶行列式 $|B|=-2$ ，则行列式 $\left|\begin{array}{cc}A & 0 \\ 0 & B\end{array}\right|$ 的值为 $\qquad$ ．
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ -4
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $\boldsymbol{n}$ 阶方阵，且 $A^2=A$ ，则 $\qquad$ ．
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}=\mathbf{0}$
$\text{B.}$ 若 $\boldsymbol{A}$ 不可逆，则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{0}$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{I}$
$\text{D.}$ 若 $\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{I}$
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是可逆矩阵，则分块矩阵 $X=\left(\begin{array}{cc}
A & 0 \\
0 & B
\end{array}\right)$ 逆矩阵为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{cc}0 & A^{-1} \\ B^{-1} & 0\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{cc}0 & B^{-1} \\ A^{-1} & 0\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{cc}A^{-1} & 0 \\ 0 & B^{-1}\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cc}B^{-1} & 0 \\ 0 & A^{-1}\end{array}\right)$
设 $A$ 为 3 阶方阵，且 $|A|=3$ ，则 $\left|A^*\right|=$
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 9
$\text{C.}$ 27
$\text{D.}$ 81
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，且 $r(A)=n-1$ ，则 $r\left(A^*\right)=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $n-1$
$\text{D.}$ $n$
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，且 $A$ 的特征值为 $1,2, \cdots, n$ ，则 $|A+E|=$
$\text{A.}$ $n!$
$\text{B.}$ $(n+1)$ ！
$\text{C.}$ $n!+1$
$\text{D.}$ $(n+1)!-1$
若含有 s 个向量的向量组线性相关，且该向量组的秩为 r ，则必有（）．
$\text{A.}$ $r=s$
$\text{B.}$ $r>s$
$\text{C.}$ $r=s+1$
$\text{D.}$ $\mathrm{r} < \mathrm{s}$
设 $A, B$ 均为 n 阶矩阵，且 $A B=O$ ，则必有
$\text{A.}$ $A=O$ 或 $B=O$
$\text{B.}$ $|A|=0$ 或 $|B|=0$
$\text{C.}$ $A+B=O$
$\text{D.}$ $|A|+|B|=0$
若非齐次线性方程组 $A_{m \times n} X=b$ 的（ ），那么该方程组无解．
$\text{A.}$ 秩 $(A)=n$
$\text{B.}$ 秩 $(A)=m$
$\text{C.}$ 秩 $(A) \neq$ 秩 $(\bar{A})$
$\text{D.}$ 秩 $(A)=$ 秩 $(\bar{A})$
若线性方程组的增广矩阵为 $\bar{A}=\left(\begin{array}{lll}1 & \lambda & 2 \\ 2 & 1 & 4\end{array}\right)$ ，则当 $\lambda=$（ ）时线性方程组有无穷
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
若二次型$f\left(x_1, x_2, x_3\right)=(k+1) x_1^2+(k-2) x_2^2+(k-3) x_3^2$ 正定，则
$\text{A.}$ $k>-1$
$\text{B.}$ $k>1$
$\text{C.}$ $k>2$
$\text{D.}$ $k>3$
已知 $\alpha=(1, k, 1)^T$ 是矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{array}\right)$ 的特征向量，则 $k=$
$\text{A.}$ 1 或 2
$\text{B.}$ -1 或 -2
$\text{C.}$ 1 或 -2
$\text{D.}$ -1 或 2
设 $A$ 为 3 阶方阵，且 $|A|=2$ 则 $|2 A|=$
$\text{A.}$ 16
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 12
向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性相关的充分必要条件是
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 中至少有一个零向量。
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 中至少有两个向量成比例。
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 中至少有一个向量可由其余向量线性表示。
$\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 中每一个向量都可由其余向量线性表示。
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $A$ 是 6 阶方阵, $\mathrm{r}(A)=4$, 那么 $\mathrm{r}\left(A^*\right)=$
$\left|\begin{array}{cc}
1 & \log _a a \\
\log _a b & 1
\end{array}\right|$
计算 $\left|\begin{array}{lll}
0 & a & 0 \\
b & 0 & c \\
0 & d & 0
\end{array}\right|$
设向量 $(2,-3,5)$ 与向量 $(-4,6, a)$ 线性相关，则 $a=$
令 $A=(1,0,3,5)^T, B=(-2,8,6,9)^T$, 则 $A^T B=$, $A B^T=$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知二次型 $f(x)=a x_1^2+x_2+3 x_3-2 x_1 x_2$ 的秩为 2 ，
a）写出二次型所对应的矩阵 $A$ ，并求参数 $a$
b）求出二次型所对应的矩阵 $A$ 的特征值
c）求正交变换 $X=P Y$ ，把二次型化成标准形（不写正交变换）．
计算行列式 $\left|\begin{array}{llll}2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2\end{array}\right|$ 的值
设三阶矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 4\end{array}\right)$ ，三维向量 $\alpha =a, 1,1^T$ ，已知 $A \alpha$ 与 $\alpha$ 线性相关，则 $a=$
用配方法将二次型
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(-2 x_1+x_2+x_3\right)^2+\left(x_1-2 x_2+x_3\right)^2+\left(x_1+x_2-2 x_3\right)^2
$$
化成标准形，并写出所用的可逆线性变换。
判断矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 2\end{array}\right)$ 可逆，并求其逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ ．
求齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+x_3+x_4=0 \\ x_1+2 x_2+3 x_3+4 x_4=0 \\ x_1+3 x_2+6 x_3+10 x_4=0\end{array}\right.$ 的基础解系和通解。
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{rrl}1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 3 & 3 & 5\end{array} \right)$ 求 $A$ 的特征值和特征向量。
用正交变换将二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+5 x_2^2+5 x_3^2+ 4 x_1 x_2 4 x_1 x_3 8 x_2 x_3$ 化为标准形，并写出正交变换矩阵。
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，且 $A^2=A$ 证明：$r(A)+r(A-E)=n \quad$ 其中 $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵。
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，证明向量组 $\beta_1=\alpha_1+\alpha_2, \beta_2=\alpha_2+ \alpha_3, \beta_3=\alpha_3+\alpha_1$ 也线性无关。