单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
下列方程中，表示抛物柱面的是
$\text{A.}$ $z^2=y$
$\text{B.}$ $x^2+z^2=1$
$\text{C.}$ $z=x^2+y^2$
$\text{D.}$ $x^2+y^2-z^2=1$
下列曲面方程中，表示柱面的是
$\text{A.}$ $x^2-2 y^2=1$
$\text{B.}$ $x^2+y^2=z$
$\text{C.}$ $x^2-2 y^2=z^2$
$\text{D.}$ $x^2-y^2=z$ ．
设有直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x+3 y+2 z+1=0 \\ 2 x-y-10 z+3=0\end{array}\right.$ 及平面 $\Pi: 4 x-2 y+z-2=0$ ，则直线 $L$（）
$\text{A.}$ 平行于平面
$\text{B.}$ 在平面上
$\text{C.}$ 垂直于平面
$\text{D.}$ 与平面斜交
抛物面 $z=x^2+y^2+1$ 与平面 $z=9$ 所围区域的体积是
$\text{A.}$ $32 \pi$ ；
$\text{B.}$ $36 \pi$ ；
$\text{C.}$ $\frac{64 \sqrt{2}}{3} \pi$ ；
$\text{D.}$ $\frac{81}{2} \pi$ ．
填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
函数 $u=x^2+y^2+2 z^2$ 在点 $P(1,1, \sqrt{2})$ 处沿曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=4 \\ x^2+y^2=2 x\end{array}\right.$ 在该点处指向 $x$ 轴正向一侧切线方向的方向导数为 .
$\qquad$
已知曲线 $y=a x^2$ 与曲线 $y=\ln x$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处相切, 则曲线 $y=a x^2$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处的法线方程是 $\qquad$ .
已知曲线 $y=a x^2$ 与曲线 $y=\ln x$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处相切, 则曲线 $y=a x^2$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处的法线方程是
求形式为 $z=a+b x^2+c y^2$ 的曲面方程, 使该曲面过点 $M_0(1,-1,4)$ 和曲线 $\left\{\begin{array}{l}z=3-2 x^2 \\ y=2\end{array}\right.$, 并指出该曲面的名称。
将 $y O z$ 坐标面上的抛物线 $y^2=5 z$ 绕 $z$ 轴旋转一周，则所生成的旋转曲面方程为
曲面 $z=3 x^2+2 y^2-2$ 在点 $(1,1,3)$ 处的法线方程是
母线平行于 $y$ 轴且通过曲线
$$
\left\{\begin{array}{l}
2 x^2+y^2+z^2=16 \\
x^2+z^2-y^2=0
\end{array}\right.
$$
的柱面方程是 $\qquad$
球面 $x^2+y^2+z^2=11$ 在点 $(1,1,3)$ 处的切平面方程为
解答题 （共 20 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求经过直线 $\left\{\begin{array}{c}x+5 y+z=0 \\ x-z+4=0\end{array}\right.$ 且与平面 $x-4 y-8 z+12=0$ 交成 $\frac{\pi}{4}$ 的平面方程。
求平面 $x-2 y+3 z-12=0$ 与三个坐标面所围成的四面体的体积.
设一球面的半径为 $R$, 球心在点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$, 求此球面的方程.
求 $y O z$ 面上的双曲线 $C$
$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1, \\
x=0
\end{array}\right.
$$
绕 $y$ 轴, $z$ 轴旋转所得的旋转面方程.
求直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x-y+z+5=0, \\ x+y+3 z-5=0\end{array}\right.$ 绕 $z$ 轴旋转而成旋转面 $S$ 的方程.
设直线 $L$ 经过点 $M(1,-2,0)$ 且与两条直线 $L_1:\left\{\begin{array}{l}2 x+z=1 \\ x-y+3 z=5\end{array}\right.$ 和 $L_2:\left\{\begin{array}{l}x=-2+t \\ y=1-4 t \\ z=3\end{array}\right.$ 都垂直, 则 $L$ 的参数方程为
求直线 $L: \frac{x-1}{0}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{2}$ 绕 $z$ 轴旋转所得的旋转面方程．
已知直线 $l: \frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-1}$ ，平面 $\pi$ 过点 $M(2,1,-5)$ 且与 $l$ 垂直，求平面 $\pi$ 的方程．
求过点 $(4,-1,3)$ 且平行于直线 $\frac{x-3}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{5}$ 的直线 $l$ 方程．
求以曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+2 z^2=1 \\ z=x^2+y^2\end{array}\right.$ 为准线，母线平行于 $z$ 轴的柱面方程．
求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+2 y^2=1 \\ z=0\end{array}\right.$ 绕 $x$ 轴旋转一周产生的旋转面方程．
求曲线 $\left\{\begin{array}{l}2 x^2+y^2=1 \\ z=0\end{array}\right.$ 绕 $y$ 轴旋转一周产生的旋转面方程．
将 $x O z$ 坐标面上的圆 $x^2+z^2=9$ 绕 $z$ 轴旋转一周，求所生成的旋转面方程．
求直线 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=t \\ z=2 t\end{array}\right.$ 绕 $Z$ 轴旋转所得旋转曲面的方程．
一平面通过平面 $4 x-y+3 z-1=0$ 和 $x+5 y-z+2=0$ 的交线且与平面 $2 x-y+5 z-3=0$ 垂直，求该平面方程
求曲面 $x^2-x y-8 x+z+7=0$ 在点 $(2,-1,3)$ 处的切平面方程．
设平面 $\Pi$ 与平面 $5 x-y+3 z-2=0$ 垂直，且它们的交线在 $x o y$ 平面上，求平面 $\Pi$ 的方程。
直线 $L: \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z}{1}$ 绕 $z$ 轴旋转而成的曲面为
求直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x-y+z-2=0, \\ x+y-z=0\end{array}\right.$ 在平面 $\pi: x-y-z-1=0$ 上的投影直线．
求椭球面 $x^2+2 y^2+3 z^2=6$ 在点 $(1,1,1)$ 处的切平面方程和法线方程．