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数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 1 题），每题只有一个选项正确

1. 设函数

u = u (x, y), v = v (x, y)

在点

(x, y)

的某邻域内可微分, 则在点

(x, y)

处有

grad (u v) =

A.

g r a d u - g r a d v;

B.

u \cdot g r a d v + v c d o t g r a d u;

C.

u \cdot g r a d v;

D.

v \cdot g r a d u

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二、填空题（共 1 题），请把答案直接填写在答题纸上

2. 设函数

z = \arcsin (x y)

, 则

d z =

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三、解答题（共 17 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

3. 设

z = z (x, y)

是由方程

e^{- x y} - 2 z + e^{z} = 0

所确定的二元函数, 求

d z

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4. 设

z = f (x + y, x y)

, 其中

f

具有一阶连续偏导数, 求

d z

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5. 求旋转抛物面

z = x^{2} + y^{2} - 1

在点

(2, 1, 4)

处的切平面及法线方程.

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6. 求曲线

{\begin{cases} 2 x^{2} + y^{2} + z^{2} = 45, \\ x^{2} + 2 y^{2} = z \end{cases}

在点

(- 2, 1, 6)

处的切线和法平面方程.

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7. 求曲线

{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 3 x = 0 \\ 2 x - 3 y + 5 z - 4 = 0 \end{cases}

在点

(1, 1, 1)

的切线与法平面.

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8. 求极限

lim_{\begin{matrix} x \to \infty \\ y \to a \end{matrix}} {(1 + \frac{1}{x y})}^{\frac{x^{2}}{x + y}} (a \neq 0)

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9. 设

z = f (x y, \frac{x}{y}) + g (\frac{y}{x})

，其中

f

具有二阶连续偏导数，

g

具有二阶连续导数，求

\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}

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10. 设

\frac{x}{z} = \ln \frac{z}{y}

，求

\frac{\partial z}{\partial x}

及

\frac{\partial z}{\partial y}

．

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11. 设

e^{z} - x y z = 0

，求

\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}

．

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12. 求函数

f (x, y) = x^{3} - y^{3} + 3 x^{2} + 3 y^{2} - 9 x

的极值．

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13. 求函数

u = x y z

在附加条件

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{a}, x > 0, y > 0, z > 0, a > 0

下的极值．

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14. 设

z = f (u, x, y), u = x e^{y}

，其中

f

具有连续的二阶偏导数，求

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}

．

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15. 设

x = e^{u} \cos v, y = e^{u} \sin v, z = u v

，试求

\frac{\partial z}{\partial x}

和

\frac{\partial z}{\partial y}

．

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16. 设函数

z = f (x, y)

在点

(1, 1)

处可微，且

f (1, 1) = 1, {\frac{\partial f}{\partial x} |}_{(1, 1)} = 2, {\frac{\partial f}{\partial y} |}_{(1, 1)} = 3, φ (x) = f (x, f (x, x)) .

求 {\frac{d}{d x} φ^{3} (x) |}_{x = 1} .

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17. 设

{\begin{cases} z = u x + y φ (u) + ψ (u), \\ 0 = x + y φ^{'} (u) + ψ^{'} (u), \end{cases}

其中函数

z = z (x, y)

具有二阶连续偏导数，证明：

\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} \cdot \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} / \neg {(\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y})}^{2} = 0

．

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18. 计算极限

lim_{(x, y) \to (0, 0)} {(x^{2} + y^{2})}^{x^{2}}

．

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19. 设

f (x, y) = {\begin{cases} y \arctan \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}, (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & , (x, y) = (0, 0) \end{cases}

讨论

f (x, y)

在原点

(0, 0)

处的可微性．

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