单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $u=u(x, y), v=v(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 的某邻域内可微分, 则 在点 $(x, y)$ 处有
$\operatorname{grad}(u v)=$
$\text{A.}$ $gradu-gradv;$
$\text{B.}$ $u \cdot gradv + v cdot gradu;$
$\text{C.}$ $u \cdot gradv;$
$\text{D.}$ $v \cdot gradu$
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $z=\arcsin (x y)$, 则 $d z=$.
解答题 （共 17 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $e^{-x y}-2 z+e^z=0$ 所确定的二元函数, 求 $d z$.
设 $z=f(x+y, x y)$, 其中 $f$ 具有一阶连续偏导数, 求 $d z$
求旋转抛物面 $z=x^2+y^2-1$ 在点 $(2,1,4)$ 处的切平面及法线方程.
求曲线 $\left\{\begin{array}{l}2 x^2+y^2+z^2=45, \\ x^2+2 y^2=z\end{array}\right.$ 在点 $(-2,1,6)$ 处的切线和法平面方程.
求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2-3 x=0 \\ 2 x-3 y+5 z-4=0\end{array}\right.$ 在点 $(1,1,1)$ 的切线与法平面.
求极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ y \rightarrow a}}\left(1+\frac{1}{x y}\right)^{\frac{x^2}{x+y}}(a \neq 0)$
设 $z=f\left(x y, \frac{x}{y}\right)+g\left(\frac{y}{x}\right)$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，$g$ 具有二阶连续导数，求
$$
\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}
$$
设 $\frac{x}{z}=\ln \frac{z}{y}$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 及 $\frac{\partial z}{\partial y}$ ．
设 $e^z-x y z=0$ ，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$ ．
求函数 $f(x, y)=x^3-y^3+3 x^2+3 y^2-9 x$ 的极值．
求函数 $u=x y z$ 在附加条件 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{a}, x>0, y>0, z>0, a>0$ 下的极值．
设 $z=f(u, x, y), u=x e^y$ ，其中 $f$ 具有连续的二阶偏导数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ．
设 $x=e^u \cos v, y=e^u \sin v, z=u v$ ，试求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ ．
设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 处可微，且
$$
f(1,1)=1,\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(1,1)}=2,\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(1,1)}=3, \varphi(x)=f(x, f(x, x)) .
$$
$$
\text { 求 }\left.\frac{d}{d x} \varphi^3(x)\right|_{x=1} \text {. }
$$
设 $\left\{\begin{array}{l}z=u x+y \varphi(u)+\psi(u), \\ 0=x+y \varphi^{\prime}(u)+\psi^{\prime}(u),\end{array}\right.$ 其中函数 $z=z(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，证明：$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} / \neg\left(\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\right)^2=0$ ．
计算极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left(x^2+y^2\right)^{x^2}$ ．
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}y \arctan \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}},(x, y) \neq(0,0) \\ 0 & ,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 讨论 $f(x, y)$在原点 $(0,0)$ 处的可微性．